제6장. 양자 오류의 기초와 모델링

지금까지 우리는 양자 컴퓨터가 완벽한 유니터리 게이트로 작동한다고 가정했습니다. 하지만 현실의 큐빗은 진공에 고립되어 있지 않습니다. 큐빗은 필연적으로 주변 환경(Environment)과 상호작용하며, 이로 인해 큐빗이 가진 섬세한 양자 정보(중첩, 위상)가 손실됩니다. 이 과정을 “양자역사” 5장과 8장에서 배운 결어긋남(Decoherence)이라고 부릅니다. 🩺

양자 오류 정정(7장)을 수행하려면, 이 복잡하고 연속적인 결어긋남 과정을 우리가 다룰 수 있는 이산적(discrete)이고 단순한 오류 모델로 근사해야 합니다. 이 장은 그 모델링의 기초를 다룹니다.

1. 기본 개념 (Fundamental Concepts)

결어긋남 (Decoherence) as Error: 양자 오류의 근원은 환경과의 원치 않는 얽힘(entanglement)입니다.
- 이상적: \(|\psi\rangle_{\text{sys}}\)
- 현실: \(|\psi\rangle_{\text{sys}} \otimes |E_0\rangle_{\text{env}} \xrightarrow{\text{시간 경과}} \sum_k (K_k |\psi\rangle_{\text{sys}}) \otimes |E_k\rangle_{\text{env}}\) 우리는 환경(\(E\))을 추적할 수 없으므로, 시스템(\(S\))의 순수 상태 \(\rho = |\psi\rangle\langle\psi|\)는 “양자역사” 5장에서 배운 양자 채널(CPTP 맵)을 거쳐 혼합 상태 \(\rho' = \mathcal{E}(\rho)\) 로 변합니다. 이 과정이 정보 손실, 즉 ’오류’입니다.
오류의 이산화 (Discretization of Errors): 결어긋남(예: 에너지 감쇠)은 연속적인 과정입니다. 하지만 오류를 ’정정’하려면 “오류가 발생했다” 또는 “안 했다”라고 이산적으로 판단할 수 있어야 합니다.
- 핵심 아이디어: 복잡하고 연속적인 오류 채널 \(\mathcal{E}\)를, 단순한 파울리(Pauli) 연산자 \(\{ \mathbf{1}, X, Y, Z \}\)들의 확률적 혼합으로 근사합니다.
- \(\mathcal{E}(\rho) \approx (1-p_x-p_y-p_z)\rho + p_x X\rho X + p_y Y\rho Y + p_z Z\rho Z\)
- 이는 “아무 오류 없음”(확률 \(1-p_{total}\)) 또는 “X 오류 발생”(확률 \(p_x\)) 등으로 모델링하는 것입니다.
파울리 기저 (The Pauli Basis): 왜 \(\{X, Y, Z\}\)일까요? \(2 \times 2\) 에르미트 행렬은 \(\{ \mathbf{1}, X, Y, Z \}\)의 선형 결합으로 모두 표현할 수 있기 때문에, 모든 종류의 단일 큐빗 오류는 이 4가지 연산자의 중첩으로 분해할 수 있습니다.
오류 정정의 단순화: \(Y = iXZ\) 관계가 성립합니다. 즉, \(Y\) 오류는 \(X\) 오류와 \(Z\) 오류가 동시에 발생한 것(과 위상 \(i\)를 무시하면)과 같습니다.

결론: 우리는 비트 플립(\(X\)) 오류와 위상 플립(\(Z\)) 오류라는 두 가지 근본적인 오류를 감지하고 수정하는 방법만 알면, 모든 단일 큐빗 오류를 정정할 수 있습니다!

2. 기호 및 핵심 오류 모델

오류 \(\mathcal{E}\)는 “양자역사” 5장에서 배운 크라우스(Kraus) 표현 \(\mathcal{E}(\rho) = \sum_k K_k \rho K_k^\dagger\) 로 기술됩니다.

1. 비트 플립 채널 (Bit-Flip Channel)

물리적 의미: 큐빗이 확률 \(p\)로 뒤집힙니다. (\(|0\rangle \leftrightarrow |1\rangle\))
오류 모델: \(\mathcal{E}_{BF}(\rho) = (1-p)\rho + p X \rho X\)
크라우스 연산자:
- \(K_0 = \sqrt{1-p} \cdot \mathbf{1}\) (오류 없음)
- \(K_1 = \sqrt{p} \cdot X\) (X 오류 발생)
- (검증: \(\sum K_k^\dagger K_k = (1-p)\mathbf{1} + p X^\dagger X = (1-p)\mathbf{1} + p\mathbf{1} = \mathbf{1}\))

2. 위상 플립 채널 (Phase-Flip Channel)

물리적 의미: 큐빗의 값은 변하지 않지만, 확률 \(p\)로 \(|0\rangle\)과 \(|1\rangle\) 사이의 상대적 위상이 \(180^\circ\)(\(-1\)배) 뒤집힙니다. (\(|+\rangle \leftrightarrow |-\rangle\))
오류 모델: \(\mathcal{E}_{PF}(\rho) = (1-p)\rho + p Z \rho Z\)
크라우스 연산자:
- \(K_0 = \sqrt{1-p} \cdot \mathbf{1}\) (오류 없음)
- \(K_1 = \sqrt{p} \cdot Z\) (Z 오류 발생)

3. 탈분극 채널 (Depolarizing Channel) 💥

물리적 의미: 가장 일반적인 ‘최악의’ 잡음 모델입니다. 큐빗이 확률 \(p\)로 자신의 원래 상태를 완전히 잊어버리고, 완벽하게 무작위적인(최대 혼합) 상태 \(\mathbf{1}/2\)로 붕괴합니다.
오류 모델 (형태 1): \(\mathcal{E}_{DP}(\rho) = (1-p)\rho + p \frac{\mathbf{1}}{2}\)
오류 모델 (형태 2, 파울리 기저): 이 모델은 파울리 오류와 수학적으로 동일합니다. \(\mathcal{E}_{DP}(\rho) = (1-p')\rho + \frac{p'}{3}(X\rho X + Y\rho Y + Z\rho Z)\) (단, \(p' = \frac{3}{4}p\). \(p'\)는 총 오류 확률)
의미: 이 동등성은 “큐빗의 정보가 완전히 랜덤해진다”는 현상이 “X, Y, Z 오류가 동일한 확률로 무작위하게 발생한다”는 현상과 같음을 보여줍니다. 이는 우리가 \(X, Y, Z\)만 잡아내면 됨을 재확인시켜 줍니다.

3. 손쉬운 예제 (Examples with Deeper Insight)

초기 상태를 \(|\psi\rangle = \alpha|0\rangle + \beta|1\rangle\) (단, \(\alpha, \beta\)는 실수)라고 가정합시다. 초기 밀도 행렬 \(\rho = |\psi\rangle\langle\psi| = \begin{pmatrix} \alpha^2 & \alpha\beta \\ \alpha\beta & \beta^2 \end{pmatrix}\) 입니다.

예제 1: 비트 플립(X) 오류의 효과

상황: \(\rho\)가 \(\mathcal{E}_{BF}(\rho) = (1-p)\rho + p X \rho X\) 채널을 통과합니다.
계산: \(X \rho X = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \alpha^2 & \alpha\beta \\ \alpha\beta & \beta^2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \alpha\beta & \beta^2 \\ \alpha^2 & \alpha\beta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \beta^2 & \alpha\beta \\ \alpha\beta & \alpha^2 \end{pmatrix}\)
최종 상태: \(\rho' = (1-p)\begin{pmatrix} \alpha^2 & \alpha\beta \\ \alpha\beta & \beta^2 \end{pmatrix} + p\begin{pmatrix} \beta^2 & \alpha\beta \\ \alpha\beta & \alpha^2 \end{pmatrix}\) \(\rho' = \begin{pmatrix} (1-p)\alpha^2 + p\beta^2 & \alpha\beta \\ \alpha\beta & (1-p)\beta^2 + p\alpha^2 \end{pmatrix}\)
💡 상세 설명 (무엇이 파괴되었는가?):
- 대각 성분 (확률): \(\rho'_{00} = (1-p)\alpha^2 + p\beta^2\). 원래 \(|0\rangle\)일 확률(\(\alpha^2\))과 \(|1\rangle\)일 확률(\(\beta^2\))이 \(p\)의 비율로 섞였습니다. 이는 고전적인 비트 플립과 정확히 같습니다.
- 비대각 성분 (결맞음): \(\rho'_{01} = (1-p)\alpha\beta + p(\alpha\beta) = \alpha\beta\). 놀랍게도, 결맞음(coherence)은 전혀 손상되지 않았습니다!
- 결론: 비트 플립 오류는 중첩의 ’위상 관계’는 망가뜨리지 않고, 단지 ’어떤 상태에 있을 확률’만 망가뜨립니다.

예제 2: 위상 플립(Z) 오류의 효과

상황: \(\rho\)가 \(\mathcal{E}_{PF}(\rho) = (1-p)\rho + p Z \rho Z\) 채널을 통과합니다.
계산: \(Z \rho Z = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \alpha^2 & \alpha\beta \\ \alpha\beta & \beta^2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \alpha^2 & -\alpha\beta \\ \alpha\beta & -\beta^2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \alpha^2 & \alpha\beta \\ -\alpha\beta & \beta^2 \end{pmatrix}\) (계산 실수!) \(Z \rho Z = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \alpha^2 & \alpha\beta \\ \alpha\beta & \beta^2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \alpha^2 & \alpha\beta \\ -\alpha\beta & -\beta^2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \alpha^2 & -\alpha\beta \\ -\alpha\beta & \beta^2 \end{pmatrix}\)
최종 상태: \(\rho' = (1-p)\begin{pmatrix} \alpha^2 & \alpha\beta \\ \alpha\beta & \beta^2 \end{pmatrix} + p\begin{pmatrix} \alpha^2 & -\alpha\beta \\ -\alpha\beta & \beta^2 \end{pmatrix}\) \(\rho' = \begin{pmatrix} \alpha^2 & (1-2p)\alpha\beta \\ (1-2p)\alpha\beta & \beta^2 \end{pmatrix}\)
💡 상세 설명 (무엇이 파괴되었는가?):
- 대각 성분 (확률): \(\rho'_{00} = (1-p)\alpha^2 + p\alpha^2 = \alpha^2\). 확률은 전혀 손상되지 않았습니다! (\(|0\rangle\)일 확률은 여전히 \(\alpha^2\))
- 비대각 성분 (결맞음): \(\rho'_{01} = (1-2p)\alpha\beta\). 결맞음(coherence) 항이 \((1-2p)\) 비율로 감쇠(damped)했습니다. \(p=1/2\) (최대 오류)이면 결맞음은 0이 됩니다.
- 결론: 위상 플립 오류는 고전적인 확률은 망가뜨리지 않고, 오직 중첩 상태의 ‘양자성’(결맞음)만 공격합니다. 이것이 바로 “양자역사” 8장의 양자 다윈주의에서 말하는 결어긋남(Decoherence)의 가장 단순한 모델입니다.

예제 3: 이산화의 정당성 (연속 vs 이산)

상황: 현실의 오류는 “양자역사” 5장의 진폭 감쇠(Amplitude Damping) 채널처럼 연속적입니다. (예: \(|1\rangle \to \sqrt{1-\gamma}|1\rangle + \sqrt{\gamma}|0\rangle\))
문제: 어떻게 이것을 이산적인 \(X\) 오류로 근사할 수 있을까요?
해석:
- \(\gamma\)가 매우 작다고(짧은 시간 \(\delta t\) 동안) 가정합시다. \(\gamma \approx p\).
- \(\sqrt{1-p} \approx 1 - p/2\).
- 이 연속적인 과정 \(\mathcal{E}_{AD}\)를 1차 근사하면,
- \(\mathcal{E}_{AD}(\rho) \approx (1-p_Z) \rho + p_Z Z\rho Z + p_X X\rho X\) …
- 즉, “에너지가 서서히 새어 나가는” 복잡한 연속 과정은, “아무 일도 일어나지 않거나” (확률 \(1-p\)), “비트 플립이 일어나거나”(확률 \(p_X\)), “위상 플립이 일어나는”(확률 \(p_Z\)) 이산적인 사건들의 확률적 혼합으로 매우 잘 근사할 수 있습니다.
- 결론: 우리는 7장에서 이 이산화된 \(X\)와 \(Z\) 오류를 잡는 코드만 만들면, 현실의 복잡한 연속적 오류에 대해서도 (근사적으로) 대처할 수 있게 됩니다.

4. 연습문제

Y 오류의 효과: 예제 1, 2와 같이, \(\mathcal{E}_{Y}(\rho) = (1-p)\rho + p Y \rho Y\) 채널이 \(\rho = \begin{pmatrix} \alpha^2 & \alpha\beta \\ \alpha\beta & \beta^2 \end{pmatrix}\)에 어떤 영향을 미치는지 계산하십시오. (힌트: \(Y \rho Y\) 계산)
Z 오류와 X 기저: \(|\psi\rangle = |+\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle + |1\rangle)\) 상태가 위상 플립(\(Z\)) 채널을 통과했을 때의 최종 밀도 행렬 \(\rho'\)를 계산하십시오. \(\rho'\)의 \(X\) 기저 측정 확률은 어떻게 변합니까?
X 오류와 Z 기저: \(|\psi\rangle = |0\rangle\) 상태가 비트 플립(\(X\)) 채널을 통과했을 때의 최종 밀도 행렬 \(\rho'\)를 계산하십시오. \(\rho'\)의 \(Z\) 기저(\(|0\rangle, |1\rangle\)) 측정 확률은 어떻게 변합니까?
탈분극 채널 동등성: \(\mathcal{E}(\rho) = (1-p)\rho + p \frac{\mathbf{1}}{2}\) (형태 1)이 \(\mathcal{E}(\rho) = (1-\frac{3p}{4})\rho + \frac{p}{4}(X\rho X + Y\rho Y + Z\rho Z)\) (형태 2, \(p'=3p/4\))와 동등함을 증명하십시오. (힌트: \(\mathbf{1}/2 = \frac{1}{2}\rho + \frac{1}{2}(X\rho X + Y\rho Y + Z\rho Z)\)가 모든 \(\rho\)에 대해 성립하지 않고, \(\rho=\mathbf{1}/2\) 일 때… 아니, \(\rho\)를 \(\rho = \frac{1}{2}(\mathbf{1} + \vec{r}\cdot\vec{\sigma})\)로 써서 계산)

5. 해설

\(Y \rho Y = \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \alpha^2 & \alpha\beta \\ \alpha\beta & \beta^2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & i \\ -i & 0 \end{pmatrix} = \dots = \begin{pmatrix} \beta^2 & -\alpha\beta \\ -\alpha\beta & \alpha^2 \end{pmatrix}\). \(\rho' = \begin{pmatrix} (1-p)\alpha^2 + p\beta^2 & (1-2p)\alpha\beta \\ (1-2p)\alpha\beta & (1-p)\beta^2 + p\alpha^2 \end{pmatrix}\). 결론: \(Y\) 오류는 비트 플립(\(X\))과 위상 플립(\(Z\))의 효과를 모두* 가집니다.* (대각/비대각 항이 모두 변함)
\(|\psi\rangle = |+\rangle \implies \rho = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\). ( \(\alpha=\beta=1/\sqrt{2}\) ) 예제 2의 \(\rho'\) 결과에 대입하면, \(\rho' = \begin{pmatrix} 1/2 & (1-2p)/2 \\ (1-2p)/2 & 1/2 \end{pmatrix}\). \(X\) 기저로 측정 시 \(P(+) = \langle +|\rho'|+\rangle = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & 1 \end{pmatrix} \rho' \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \dots = 1-p\). \(P(-) = \langle -|\rho'|-\rangle = p\). 결론: 위상 플립 오류는 \(|+\rangle\) 상태를 \(p\)의 확률로 \(|-\rangle\) 상태로 만듭니다. 즉, Z 오류는 X 기저에서 비트 플립처럼 보입니다.
\(|\psi\rangle = |0\rangle \implies \rho = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\). ( \(\alpha=1, \beta=0\) ) 예제 1의 \(\rho'\) 결과에 대입하면, \(\rho' = \begin{pmatrix} (1-p) & 0 \\ 0 & p \end{pmatrix}\). \(Z\) 기저 측정 시 \(P(0) = \rho'_{00} = 1-p\), \(P(1) = \rho'_{11} = p\). 결론: 비트 플립 오류는 \(|0\rangle\) 상태를 \(p\)의 확률로 \(|1\rangle\) 상태로 만듭니다. (당연한 결과)
\(\rho = \frac{1}{2}(\mathbf{1} + \vec{r}\cdot\vec{\sigma})\). \(\mathcal{E}_{DP}(\rho) = (1-p)\rho + p\frac{\mathbf{1}}{2} = \frac{1}{2}(\mathbf{1} + (1-p)\vec{r}\cdot\vec{\sigma})\). (블로흐 구가 원점으로 \(1-p\)만큼 수축) 형태 2에 \(X\rho X = \frac{1}{2}(\mathbf{1} + r_x\sigma_x - r_y\sigma_y - r_z\sigma_z)\) 등을 대입하여 정리하면, \(\mathcal{E}(\rho) = \dots = \frac{1}{2}(\mathbf{1} + (1-p')\vec{r}\cdot\vec{\sigma} - \frac{p'}{3}(r_y+r_z+r_x+r_z+r_x+r_y)\vec{\sigma}) \dots\) \(p'=3p/4\) 대신 \(p' = p/3\) (X,Y,Z 각각)으로 모델링하면, \(\mathcal{E}(\rho) = (1-p)\rho + \frac{p}{3}(X\rho X + \dots) = \frac{1}{2}(\mathbf{1} + (1 - \frac{4p}{3})\vec{r}\cdot\vec{\sigma})\)가 됩니다. 형태 1과 형태 2는 \(p' = 4p/3\) 관계를 통해 \(p \to (1-p')\vec{r}\)로 블로흐 벡터를 수축시키는 동일한 효과를 줍니다.