12장. 불확정 인과 순서: ’이전’과 ’이후’가 중첩될 때

우리는 ‘사건 A가 일어난 다음에 사건 B가 일어난다’(\(A \prec B\))는 고정된 인과 순서에 익숙해져 있습니다. 이것은 고전 물리학과 우리 직관의 근간입니다. 하지만 9장과 10장에서 시간이 절대적인 배경이 아닐 수 있음을 보았듯이, 양자 중력과 양자 정보의 경계에서는 이 인과 구조 자체가 양자역학적으로 중첩될 수 있다는 가능성이 제기됩니다.

불확정 인과 순서(Indefinite Causal Order, ICO)는 이러한 현상을 기술하는 이론적 틀입니다. 공정 행렬(Process Matrix, W)은 이처럼 일반화된 인과 관계를 수학적으로 표현하는 도구이며, 인과 위트니스(Causal Witness, S)는 주어진 현상이 고정된 순서의 단순한 확률적 혼합으로는 설명 불가능한, 진정한 양자적 순서 중첩임을 실험적으로 증명하는 측정량입니다.

1. 기본 개념 (Fundamental Concepts)

  • 공정 행렬 (Process Matrix, W): 앨리스(A)와 밥(B)이라는 두 행위자가 각자의 실험실에서 국소적 연산을 수행한다고 할 때, 공정 행렬 \(W\)는 이 두 연산을 연결하는 ‘배경’ 또는 ’프로토콜’을 기술하는 수학적 객체입니다.

    • 기존 관점: A에서 B로 신호가 가거나(\(A \prec B\)), B에서 A로 신호가 갑니다(\(B \prec A\)). 시간 순서는 명확합니다.
    • 새로운 관점: \(W\)는 \(A \prec B\) 또는 \(B \prec A\)라는 가정을 미리 하지 않습니다. \(W\)는 단지 A와 B의 모든 가능한 국소적 연산에 대해 일관된 확률 분포를 제공하는, 가장 일반화된 ’배경 시공간’을 나타냅니다.

    💡 상세 설명: 무대를 넘어 무대의 규칙을 양자화하다 🎭

    표준 양자역학은 고정된 시공간이라는 ‘무대’ 위에서 입자(배우)들이 연기(진화)하는 것과 같습니다.

    공정 행렬 형식론은 한발 더 나아가, “배우 A가 배우 B보다 먼저 등장한다”는 그 무대 지시서(Causal Order) 자체도 양자 중첩의 대상이 될 수 있다고 봅니다. 공정 행렬 \(W\)는 이 일반화된 ’양자 무대 지시서’에 해당합니다.

  • 인과 분리성 (Causal Separability): 어떤 공정 행렬 \(W\)가 고정된 순서들의 고전적인 확률적 혼합으로 표현될 수 있을 때, 이를 ’인과적으로 분리 가능’하다고 말합니다. \[W = q W^{A\prec B} + (1-q) W^{B\prec A} \quad (0 \le q \le 1)\]

    • 의미: “q의 확률로 A가 B보다 먼저이고, (1-q)의 확률로 B가 A보다 먼저이지만, 우리가 그저 어느 쪽인지 ‘모를 뿐’(무지)”이라는 고전적 불확실성을 의미합니다. (부록 2 참고)

  • 불확정 인과 순서 (Indefinite Causal Order, ICO): \(W\)가 위와 같은 인과 분리 형태로 절대 표현될 수 없는 경우입니다. 이는 \(A \prec B\)와 \(B \prec A\)라는 두 가지 인과 구조가 고전적인 확률 혼합이 아닌, 진정한 양자역학적 중첩 상태에 있음을 의미합니다.

  • 인과 위트니스 (Causal Witness, S): 주어진 공정 \(W\)가 인과 분리인지, 아니면 불확정 인과인지를 실험적으로 판별하기 위해 고안된 특별한 관측량(Observable)입니다.

    💡 상세 설명: 인과 순서의 ‘얽힘 판별사’ 🕵️

    인과 위트니스는 2장에서 배운 양자 얽힘을 판별하는 ’얽힘 위트니스’와 작동 원리가 같습니다.

    1. 모든 인과 분리(separable) 공정 \(W_{\text{sep}}\)에 대해서는 그 기대값이 항상 0 이상이 되도록 위트니스 \(S\)를 설계합니다: \(\mathrm{Tr}(S W_{\text{sep}}) \ge 0\).
    2. 실험을 통해 측정한 우리 공정 \(W_{\text{obs}}\)에 대해 이 \(S\)의 기대값을 계산합니다.
    3. 만약 \(\mathrm{Tr}(S W_{\text{obs}}) < 0\) 라는 음수 값이 관측된다면, \(W_{\text{obs}}\)는 절대로 인과 분리 공정일 수 없다는 것이 수학적으로 증명됩니다.

    즉, 음수 값은 “이 현상은 고정된 순서의 확률적 혼합으로는 절대 설명 불가!”라는 선언이며, 불확정 인과 순서의 강력한 증거가 됩니다.

  • 양자 스위치 (Quantum Switch): 불확정 인과 순서를 구현하는 가장 유명하고 표준적인 장치입니다. 제어 큐빗(control qubit)의 상태에 따라 두 양자 채널(5장) \(\mathcal{A}\)와 \(\mathcal{B}\)의 적용 순서를 제어합니다.

    • 제어 큐빗이 \(|0\rangle_c\) 이면: \(\mathcal{B} \circ \mathcal{A}\) (A를 먼저, B를 나중에 적용)
    • 제어 큐빗이 \(|1\rangle_c\) 이면: \(\mathcal{A} \circ \mathcal{B}\) (B를 먼저, A를 나중에 적용)
    • 제어 큐빗이 중첩 상태 \(\frac{|0\rangle_c + |1\rangle_c}{\sqrt{2}}\) 이면: 두 가지 적용 순서가 양자적으로 중첩된 상태가 만들어집니다. 이 장치의 공정 행렬 \(W_{\text{switch}}\)는 인과 위트니스에 대해 음수 값을 보입니다.

2. 기호 및 핵심 관계식

  • 초이(Choi) 표현 (5장 참고): 양자 채널(연산) \(\mathcal{E}\)를 양의 행렬(상태) \(M\)으로 대응시키는 수학적 도구(CJ Isomorphism)입니다. 앨리스의 연산 \(\{ \mathcal{M}^A_{a|x} \}\)은 행렬 집합 \(\{ M^A_{a|x} \}\)로, 밥의 연산 \(\{ \mathcal{M}^B_{b|y} \}\)는 \(\{ M^B_{b|y} \}\)로 표현됩니다.

  • 확률 공식: 앨리스가 설정 \(x\)에 따라 연산 \(a\)를, 밥이 설정 \(y\)에 따라 연산 \(b\)를 수행할 때의 결합 확률은 다음과 같이 공정 행렬 \(W\)와 선형적인 내적으로 주어집니다. \[p(a,b|x,y) = \mathrm{Tr}\left[ (M^A_{a|x} \otimes M^B_{b|y}) W \right]\] 이 공식은 \(W\)가 앨리스와 밥 사이의 모든 인과적 연결 정보를 담고 있음을 보여줍니다.

  • \(W\)의 물리적 제약: \(W\)가 물리적으로 유효한(모든 연산에 대해 0과 1 사이의 확률을 주는) 공정 행렬이 되기 위해서는 다음을 만족해야 합니다.

    1. 양의 반정부호: \(W \ge 0\)
    2. 정규화 제약: \(\sum_{a,b} p(a,b|x,y) = 1\)이 모든 가능한 (완전) 연산 선택 \(\{M^A\}, \{M^B\}\)에 대해 성립해야 합니다. 이는 \(W\)의 특정 부분 자취(partial trace)들에 대한 선형 제약 조건들로 표현됩니다.

  • 인과 위트니스 \(S\): \(S\)는 헤르미션 행렬입니다.

    • 인증 조건: \(\mathrm{Tr}(S W_{\text{obs}}) < 0 \implies W_{\text{obs}}\)는 불확정 인과.
    • 설계: \(S\)는 모든 인과 분리 공정들의 볼록 집합(convex set)과 \(W_{\text{obs}}\)를 분리하는 초평면(hyperplane)으로 구성할 수 있습니다 (SDP 문제로 최적화 가능).

3. 손쉬운 예제 (Examples with Deeper Insight)

  • 예제 1: 고정된 순서 \(A \prec B\)
    • \(W = W^{A\prec B}\)입니다. 이 \(W\)는 A의 입력은 과거에서 받고, A의 출력은 B의 입력으로 보내며, B의 출력은 미래로 보냅니다. B의 입력에서 A의 입력으로 가는 ‘역방향 신호’ 채널은 닫혀있습니다.
  • 예제 2: 고전적 무작위 순서 (인과 분리)
    • 동전을 던져 앞면이 나오면 \(A \prec B\) 순서로, 뒷면이 나오면 \(B \prec A\) 순서로 실험을 진행합니다.
    • \(W = \frac{1}{2} W^{A\prec B} + \frac{1}{2} W^{B\prec A}\).
    • 이 \(W\)는 인과 분리 정의를 만족하며(부록 2의 ‘고전적 무지’), 인과 위트니스 \(S\)에 대해 \(\mathrm{Tr}(S W) \ge 0\)이 됩니다.
  • 예제 3: 양자 스위치 (불확정 인과)
    • 제어 큐빗의 중첩을 통해 \(W_{\text{switch}}\)를 구현합니다.
    • \(W_{\text{switch}}\)는 예제 2와 같은 볼록 혼합으로 분해할 수 없습니다. (두 순서의 ‘결맞는’ 중첩(Coherence)을 포함합니다.)
    • 적절히 설계된 위트니스 \(S\)에 대해 \(\mathrm{Tr}(S W_{\text{switch}}) < 0\) 임을 실험적으로 보일 수 있으며, 이는 불확정 인과의 명백한 증거입니다.
  • 예제 4: 잡음의 영향
    • 완벽한 양자 스위치 \(W_{\text{switch}}\)에 백색 잡음(완전히 무작위한 공정) \(W_{\text{noise}}\)를 섞습니다.
    • \(W' = (1-q) W_{\text{switch}} + q W_{\text{noise}}\)
    • 위트니스 값은 \(\mathrm{Tr}(S W') = (1-q) \mathrm{Tr}(S W_{\text{switch}}) + q \mathrm{Tr}(S W_{\text{noise}})\)가 됩니다.
    • \(\mathrm{Tr}(S W_{\text{switch}})\)는 음수이고 \(\mathrm{Tr}(S W_{\text{noise}})\)는 양수이므로, 잡음 \(q\)가 특정 임계값을 넘어가면 \(\mathrm{Tr}(S W')\)가 0 이상이 되어 더 이상 불확정 인과를 인증할 수 없게 됩니다.

4. 연습문제

  1. (확률의 비음성): 공정 행렬 \(W \ge 0\)이고, 국소 연산의 초이 행렬 \(M^A_{a|x}, M^B_{b|y} \ge 0\) 일 때, 확률 \(p(a,b|x,y) \ge 0\) 임을 보이십시오. (힌트: 두 양의 반정부호 행렬 \(P, Q\)의 곱의 트레이스 \(\mathrm{Tr}(PQ)\)는 0 이상입니다.)
  2. (정규화 조건): 앨리스와 밥이 완전한 POVM(측정)을 수행한다고 가정할 때, (즉, \(\sum_a M^A_{a|x} = \mathbf{1}_{\text{out}}^A\), \(\sum_b M^B_{b|y} = \mathbf{1}_{\text{out}}^B\)), 이로부터 \(\sum_{a,b} p(a,b|x,y)=1\)이 되도록 \(W\)에 가해지는 선형 제약 조건을 유도하십시오.
  3. (인과 분리 조건): \(A \prec B\) 순서를 따르는 공정 \(W^{A\prec B}\)는 “B의 결과(B-output)가 A의 설정(A-input)에 의존할 수 없음”을 만족해야 합니다. 이를 \(W^{A\prec B}\)의 특정 부분 자취(partial trace)에 대한 조건으로 어떻게 표현할 수 있을지 서술하십시오.
  4. (잡음 임계값 계산): 어떤 양자 스위치 \(W_{\text{switch}}\)가 위트니스 \(S\)에 대해 \(\mathrm{Tr}(S W_{\text{switch}}) = -0.5\)를, 백색 잡음 \(W_{\text{noise}}\)가 \(\mathrm{Tr}(S W_{\text{noise}}) = 1.0\)을 준다고 가정합시다. 혼합된 공정 \(W' = (1-q) W_{\text{switch}} + q W_{\text{noise}}\)가 불확정 인과로 인증되기 위한 잡음 \(q\)의 최대 임계값을 계산하십시오.
  5. (작업 이점): 양자 스위치가 고정된 순서(또는 그 확률적 혼합)보다 특정 정보 처리 작업(예: 두 유니타리 채널이 교환하는지 반교환하는지 판별)에서 더 효율적인 이유를 인과 순서의 중첩과 관련지어 정성적으로 설명하십시오.

5. 해설

  1. \(W\)와 \(M^A \otimes M^B\)는 모두 양의 반정부호(positive semidefinite) 행렬입니다. 두 양의 반정부호 행렬 \(P, Q\)의 곱의 트레이스 \(\mathrm{Tr}(PQ)\)는 (일반적으로 \(PQ\)가 양의 반정부호가 아닐지라도) 항상 0 이상입니다. 따라서 \(p(a,b|x,y) = \mathrm{Tr}[(M^A \otimes M^B) W] \ge 0\) 입니다.
  2. \(\sum_{a,b} p = \sum_{a,b} \mathrm{Tr}[(M^A_{a|x} \otimes M^B_{b|y}) W] = \mathrm{Tr}[(\sum_a M^A_{a|x}) \otimes (\sum_b M^B_{b|y}) W] = \mathrm{Tr}[(\mathbf{1}_{\text{out}}^A \otimes \mathbf{1}_{\text{out}}^B) W]\). 이것이 모든 \(\{x, y\}\) 선택에 대해 1이 되어야 하므로, \(W\)는 \(\mathrm{Tr}[(\mathbf{1}_{\text{out}}^A \otimes \mathbf{1}_{\text{out}}^B) W] = 1\)이라는 정규화 제약을 만족해야 합니다.
  3. 이 조건은 앨리스의 입력 공간(\(A_I\))에 대한 부분 자취를 취했을 때, 밥의 출력 공간(\(B_O\))과 앨리스의 입력 공간(\(A_I\)) 사이의 상관관계가 없어야 함을 의미합니다. 즉, 밥의 출력에 대한 축소 상태는 앨리스가 어떤 입력을 선택했는지에 대한 정보를 포함해서는 안 됩니다.
  4. \(\mathrm{Tr}(S W') = (1-q) (-0.5) + q (1.0) = -0.5 + 0.5q + 1.0q = 1.5q - 0.5\). 불확정 인과가 인증되려면 이 값이 음수여야 합니다. \(1.5q - 0.5 < 0 \implies 1.5q < 0.5 \implies q < 1/3\). 따라서 최대 임계값은 \(q = 1/3\) 입니다.
  5. 고정된 순서로는 \(A \to B\) 순서와 \(B \to A\) 순서를 각각 테스트해야 하므로 두 번의 실험이 필요합니다. 양자 스위치는 제어 큐빗의 중첩을 이용해 두 가지 순서를 동시에 간섭시켜, 단 한 번의 실행으로 두 순서의 관계(예: 교환 또는 반교환)에 대한 정보를 얻을 수 있습니다. 이는 인과 순서 자체를 자원으로 활용하는 것입니다.