2장. 양자 시스템의 결합과 상태: 텐서곱, 밀도 행렬, 부분 자취

이 문서는 여러 양자 시스템을 하나의 전체 시스템으로 기술하는 방법과, 불완전한 정보를 포함하는 양자 상태를 어떻게 수학적으로 표현하는지 다룹니다. 텐서곱은 각 시스템의 공간을 결합하는 언어이며, 밀도 행렬은 순수 상태와 혼합 상태를 아우르는 보편적인 상태 표현법입니다. 부분 자취는 전체 시스템의 일부만을 들여다볼 때 사용하는 핵심 도구입니다.

1. 기본 개념 (Fundamental Concepts)

  • 텐서곱 (Tensor Product): 두 개 이상의 양자 시스템을 하나의 결합 시스템(composite system)으로 다루기 위한 수학적 구성입니다. 각 시스템의 힐베르트 공간이 \(H_A\)와 \(H_B\)일 때, 전체 시스템의 상태 공간은 텐서곱 공간 \(H_A \otimes H_B\)가 됩니다. 이 공간의 내적은 각 부분 공간 내적의 곱으로 자연스럽게 정의됩니다: \(\langle x_1\otimes y_1, x_2\otimes y_2\rangle = \langle x_1,x_2\rangle_A \langle y_1,y_2\rangle_B\).

    상세 설명: 텐서곱은 왜 필요한가?

    텐서곱은 각 시스템이 가질 수 있는 모든 상태의 조합을 표현하는 방법입니다. 동전 A(앞/뒤)와 동전 B(앞/뒤)가 있다면, 전체 시스템의 상태는 (A앞, B앞), (A앞, B뒤), (A뒤, B앞), (A뒤, B뒤)의 4가지 경우가 됩니다. 힐베르트 공간의 차원도 마찬가지로 곱해집니다(\(\dim(H_A \otimes H_B) = \dim(H_A) \times \dim(H_B)\)).

    특히 양자역학에서는 단순한 조합을 넘어선 얽힘(entanglement) 상태가 존재하며, 이는 텐서곱 구조 위에서만 정의될 수 있는 비고전적인 현상입니다.

  • 밀도 연산자 (Density Operator / Matrix): 양자 상태를 가장 일반적으로 기술하는 수학적 객체입니다. 다음 두 조건을 만족하는 연산자 \(\rho\)로 정의됩니다.

    1. 양의 반정부호 (Positive semidefinite): \(\rho \ge 0\), 즉 모든 \(|\psi\rangle\)에 대해 \(\langle\psi|\rho|\psi\rangle \ge 0\).
    2. 단위 자취 (Unit trace): \(\mathrm{Tr}(\rho)=1\).

    상세 설명: 왜 밀도 행렬이 필요한가? (순수 상태와 혼합 상태의 구분)

    상태 벡터 \(|\psi\rangle\)는 시스템의 정보가 완벽히 알려진 순수 상태(pure state)만을 기술합니다. 이는 ’50% 확률로 \(|0\rangle\), 50% 확률로 \(|1\rangle\)’인 상태와 근본적으로 다릅니다. 이 둘은 ‘양자적 중첩’과 ‘고전적 무지’의 차이입니다.

    1. 순수 상태 (결맞은 중첩): \(|\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle + |1\rangle)\)와 같은 상태입니다. 이것은 \(|0\rangle\)도, \(|1\rangle\)도 아닌, 두 상태가 명확한 위상 관계(결맞음)를 가지고 ‘동시에’ 중첩된 하나의 완벽한 상태입니다. 측정 시 50%의 확률로 결과가 나뉘지만, 측정 전의 상태는 단일합니다.

    2. 혼합 상태 (비결맞은 혼합): ’50% 확률로 \(|0\rangle\), 50% 확률로 \(|1\rangle\)’인 상태입니다. 이는 시스템이 실제로 \(|0\rangle\)이거나 \(|1\rangle\)이지만, 우리가 둘 중 무엇인지 모르는 고전적 확률(무지)을 나타냅니다. 두 상태 간의 결맞음(위상 관계)이 전혀 없습니다.

    수학적 예시: 밀도 행렬은 이 둘을 명확히 구분합니다.

    • 순수 상태 \(\rho_{\text{pure}} = |\psi\rangle\langle\psi| = \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \right) \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & 1 \end{pmatrix} \right) = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & \mathbf{1} \\ \mathbf{1} & 1 \end{pmatrix}\)

    • 혼합 상태 \(\rho_{\text{mix}} = 0.5 |0\rangle\langle0| + 0.5 |1\rangle\langle1| = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & 1 \end{pmatrix}\)

    순수 상태는 결맞음을 나타내는 비대각 항(off-diagonal)이 0이 아니지만(단, \(|0\rangle\) 같은 기저 상태 제외), 혼합 상태는 이 비대각 항이 0입니다. \(\rho_{\text{mix}}\)와 같은 상태는 단 하나의 상태 벡터 \(|\psi\rangle\)로 절대 표현할 수 없습니다. 밀도 행렬은 이처럼 순수 상태와 혼합 상태를 모두 일관되게 기술하는 일반화된 도구입니다. 👨‍🔬

  • 부분 자취 (Partial Trace): 결합 시스템 \(\rho_{AB}\)에서 한쪽 부시스템(예: B)에 대한 정보를 무시하고 나머지 부시스템(A)의 상태 \(\rho_A\)만을 얻어내는 연산입니다. 이는 확률론에서 결합확률분포 \(P(X,Y)\)로부터 주변확률분포 \(P(X) = \sum_Y P(X,Y)\)를 얻는 과정의 양자역학적 대응물입니다.

    상세 설명: 부분 자취와 얽힘 - “완벽한 전체”와 “불완전한 부분”

    부분 자취는 얽힘의 핵심적인 특징을 드러냅니다. 이때 “정보가 완벽하다/불완전하다”는 표현은 확률의 총합(\(\mathrm{Tr}(\rho)=1\), 이는 항상 성립)이 아니라 순도(Purity, \(\mathrm{Tr}(\rho^2)\))를 기준으로 합니다.

    • 정보가 완벽함 (순수 상태): \(\mathrm{Tr}(\rho^2)=1\). 왜 “완벽한가?”: 우리가 시스템의 상태를 하나의 단일 상태 벡터 \(|\psi\rangle\)로 100% 확신하기 때문입니다. (예: 시스템이 \(\frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle+|1\rangle)\) 상태임을 정확히 알고 있음). 여기에 고전적인 무지(ignorance)는 없습니다.

    • 정보가 불완전함 (혼합 상태): \(\mathrm{Tr}(\rho^2)<1\). 왜 “불완전한가?”: 우리가 시스템의 상태를 하나의 벡터로 특정할 수 없기 때문입니다. 우리의 지식은 “50% 확률로 \(|0\rangle\)이고, 50% 확률로 \(|1\rangle\)이다”와 같은 통계적 앙상블(statistical ensemble)에 머무릅니다. 즉, 시스템이 실제로 둘 중 어떤 상태인지 모르는 고전적 무지(classical ignorance)가 존재함을 의미합니다.

    얽힘 상태(예: 벨 상태 \(\rho_{AB}=|\Phi^+\rangle\langle\Phi^+|\))는 전체 시스템(\(\rho_{AB}\))은 순수 상태(\(\mathrm{Tr}(\rho_{AB}^2)=1\))입니다. 즉, “전체에 대한 정보는 완벽”합니다. (우리는 시스템이 \(|\Phi^+\rangle\)라는 하나의 상태에 있음을 100% 압니다.)

    그러나 이 상태에서 한쪽(B)을 부분 자취하여 A의 상태 \(\rho_A = \mathrm{Tr}_B(\rho_{AB})\)를 구하면, \(\rho_A = \frac{1}{2}I\) (완전 혼합 상태)가 됩니다. 이 상태의 순도는 \(\mathrm{Tr}(\rho_A^2) = 1/2 < 1\) 입니다.

    즉, “부분에 대한 정보는 불완전”해집니다. 이는 A만 관측하는 사람은 A의 상태를 \(\frac{1}{2}I\) 라는 통계 앙상블로밖에 기술할 수 없다는(즉, A에 대해 아무것도 모른다는) 뜻입니다. A의 정보는 A 혼자 갖지 않고 ‘A와 B의 관계’ 속에만 존재하는데, 부분 자취는 그 관계를 버리고 A만 보기에 정보가 불완전해지는 것입니다.

  • 양의 연산자 (Positive Operator): 모든 벡터 \(|\psi\rangle\)에 대해 \(\langle\psi|A|\psi\rangle \ge 0\)을 만족하는 연산자 \(A\)를 말합니다. 이는 연산자의 고유값이 모두 0 이상이라는 것과 동치입니다. 밀도 연산자는 물리적으로 ’확률’의 개념과 연결되므로 반드시 양의 연산자여야 합니다.

2. 기호 및 핵심 관계식

  • 텐서곱과 내적:
    • \(H_A, H_B\)의 직교정규 기저가 각각 \(\{|i\rangle_A\}, \{|j\rangle_B\}\)일 때, \(H_A \otimes H_B\)의 직교정규 기저는 \(\{|i\rangle_A \otimes |j\rangle_B\}\) 또는 간단히 \(\{|ij\rangle\}\)로 주어집니다.
    • 연산자의 텐서곱: \((A \otimes B)(|a\rangle \otimes |b\rangle) = (A|a\rangle) \otimes (B|b\rangle)\).
  • 밀도 연산자 \(\rho\):
    • 순수도(Purity): \(\mathrm{Tr}(\rho^2)\) 값으로 상태의 혼합 정도를 측정합니다.
      • 순수 상태: \(\rho=|\psi\rangle\langle\psi| \implies \mathrm{Tr}(\rho^2)=1\).
      • 혼합 상태: \(\rho=\sum_i p_i |\psi_i\rangle\langle\psi_i| \implies \mathrm{Tr}(\rho^2) < 1\).
    • 기대값: 관측량 \(A\)의 기대값은 \(\langle A\rangle = \mathrm{Tr}(\rho A)\)로 계산됩니다.

    💡 왜 “밀도” 행렬이라고 부를까요? (순수도와의 관계)

    “밀도 행렬(Density Matrix)”이라는 이름은 고전 통계역학의 확률 밀도 함수와의 유사성에서 유래했습니다. 확률 밀도 함수는 시스템이 특정 상태에 존재할 확률이 얼마나 밀집되어 있는지를 나타냅니다.

    • 순수 상태 (Pure State)는 시스템의 정보가 단 하나의 양자 상태에 100% 밀집된 상태입니다. 정보의 ’농도’가 가장 진한 상태에 해당합니다.
    • 혼합 상태 (Mixed State)는 정보가 여러 양자 상태에 걸쳐 분산되어 있는, 즉 ’희석’된 상태입니다.

    따라서 “밀도”라는 용어는 양자 정보가 상태 공간에 얼마나 농축되어 있는지(순수도 높음) 혹은 퍼져 있는지(순수도 낮음)를 나타내는 직관적인 표현입니다. 순수도(Tr(ρ²))는 이 정보의 밀집도를 측정하는 지표인 셈입니다.

  • 부분 자취 \(\mathrm{Tr}_B\):
    • 정의의 핵심: 단순 텐서곱 연산자에 대해 \(\mathrm{Tr}_B(A \otimes B) = A \cdot \mathrm{Tr}(B)\)로 정의하고, 이를 선형적으로 모든 연산자에 확장합니다.
    • 행렬 표현: \(\rho_A\)의 행렬 성분은 \((\rho_A)_{ij} = \sum_k (\rho_{AB})_{ik,jk}\)로 계산됩니다. 여기서 \(ik, jk\)는 결합 시스템의 인덱스를 의미합니다.
  • 양자 채널 (CPTP 맵):
    • 물리적으로 가능한 양자 상태의 변화(양자 연산)는 완전 양의 자취 보존(Completely Positive and Trace-Preserving, CPTP) 선형 사상 \(\Phi\)로 기술됩니다.
    • 크라우스 표현 (Kraus Representation): 모든 CPTP 맵은 \(\Phi(\rho) = \sum_k K_k \rho K_k^\dagger\) 형태로 표현 가능하며, 이때 크라우스 연산자 \(K_k\)들은 \(\sum_k K_k^\dagger K_k = \mathbf{1}\) (자취 보존 조건)을 만족합니다.

3. 손쉬운 예제 (Examples with Deeper Insight)

  • 텐서곱 예제 1: 두 큐빗의 기준 상태
    • \(|0\rangle_A = \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}, |1\rangle_B = \begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}\) 일 때,
    • \(|01\rangle = |0\rangle_A \otimes |1\rangle_B = \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\cdot\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix} \\ 0\cdot\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\1\\0\\0\end{pmatrix}\)
    • 마찬가지로, \(|00\rangle \to (1,0,0,0)^{\mathsf T}\), \(|10\rangle \to (0,0,1,0)^{\mathsf T}\), \(|11\rangle \to (0,0,0,1)^{\mathsf T}\)가 되어 4차원 공간의 표준 기저를 형성합니다. 직교성은 \(\langle 01|10\rangle = (0,1,0,0) \cdot (0,0,1,0)^{\mathsf T} = 0\) 과 같이 쉽게 확인할 수 있습니다.
  • 밀도행렬 예제 1: 순수 상태 vs. 혼합 상태
    • 순수 상태: \(|\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle+|1\rangle)\). \(\rho=|\psi\rangle\langle\psi| = \frac{1}{2}\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}\). \(\rho^2 = \frac{1}{4}\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix} = \frac{1}{4}\begin{pmatrix}2&2\\2&2\end{pmatrix} = \rho\). \(\mathrm{Tr}(\rho^2) = \mathrm{Tr}(\rho)=1\).
    • 혼합 상태: 50% 확률로 \(|0\rangle\), 50% 확률로 \(|1\rangle\). \(\rho=\frac{1}{2}|0\rangle\langle 0|+\frac{1}{2}|1\rangle\langle 1| = \frac{1}{2}\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} = \frac{\mathbf{1}}{2}\). \(\rho^2 = \frac{1}{4}\mathbf{1}\). \(\mathrm{Tr}(\rho^2) = \frac{1}{4}\mathrm{Tr}(\mathbf{1})=\frac{2}{4}=\frac{1}{2} < 1\).

    💡 순수도 \(\mathrm{Tr}(\rho^2)\)의 의미

    밀도행렬 \(\rho\)의 고유값은 각 고유 상태에 있을 확률 \(\{p_i\}\)로 해석할 수 있습니다. \(\mathrm{Tr}(\rho^2) = \sum_i p_i^2\) 입니다.

    • 순수 상태는 특정 한 상태에 있을 확률이 100%이므로, 고유값은 \(\{1, 0, \dots, 0\}\)입니다. 따라서 \(\sum p_i^2 = 1^2+0^2+\dots=1\) 입니다.
    • 혼합 상태는 확률이 여러 상태에 분산되어 있으므로(\(\sum p_i = 1, p_i<1\)), \(\sum p_i^2 < 1\) 이 됩니다. (예: \(0.5^2+0.5^2=0.5\)). 가장 혼합된 상태(최대 엔트로피)에서 순수도는 최소가 됩니다.
  • 부분자취 예제 1: 분리 가능 상태 (Product State) 계산
    • 얽힘이 없는 순수 상태 \(|\psi\rangle_{AB} = |0\rangle_A \otimes |+\rangle_B = |0\rangle_A \otimes \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle_B + |1\rangle_B) = \frac{1}{\sqrt{2}}(|00\rangle + |01\rangle)\)를 생각해 봅시다.
    • 전체 밀도 행렬은 \(\rho_{AB} = |\psi\rangle\langle\psi| = \frac{1}{2}(|00\rangle + |01\rangle)(\langle 00| + \langle 01|)\) 입니다. (기저 순서: \(|00\rangle, |01\rangle, |10\rangle, |11\rangle\)) \(\rho_{AB} = \frac{1}{2}\begin{pmatrix}1&1&0&0\\1&1&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}\).
    • B 시스템에 대해 부분 자취를 취하여 \(\rho_A\)를 계산해 봅시다. \(\rho_A = \mathrm{Tr}_B(\rho_{AB}) = \sum_{k=0,1} \langle k|_B \rho_{AB} |k\rangle_B = \langle 0|_B \rho_{AB} |0\rangle_B + \langle 1|_B \rho_{AB} |1\rangle_B\)
    • \(\langle 0|_B \rho_{AB} |0\rangle_B\)는 B가 0인 부분(1, 3번째 행/열)의 부분 행렬을 추출합니다. \(\frac{1}{2}\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}\)
    • \(\langle 1|_B \rho_{AB} |1\rangle_B\)는 B가 1인 부분(2, 4번째 행/열)의 부분 행렬을 추출합니다. \(\frac{1}{2}\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}\)
    • 이 둘을 더하면 \(\rho_A\)가 됩니다. \(\rho_A = \frac{1}{2}\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix} + \frac{1}{2}\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix} = |0\rangle\langle 0|_A\).

    💡 예제 1의 해석

    A의 상태 \(\rho_A\)는 순수도 \(\mathrm{Tr}(\rho_A^2)=1\)인 순수 상태입니다. 이는 얽힘이 없는 분리 가능 상태에서는 부분 자취가 단순히 다른 쪽 시스템(\(|+\rangle_B\))을 무시하고 원래 A의 상태(\(|0\rangle_A\))를 반환함을 보여줍니다. 이 상식적인 결과는 다음 예제와 극명하게 대비됩니다.

  • 부분자취 예제 2: 얽힘 상태 (벨 상태)의 축소
    • 이제 얽힘 상태 \(|\Phi^+\rangle=\tfrac{1}{\sqrt{2}}(|00\rangle+|11\rangle)\)의 밀도 행렬을 살펴봅시다. \(\rho_{AB}=|\Phi^+\rangle\langle\Phi^+| = \frac{1}{2}(|00\rangle+|11\rangle)(\langle 00|+\langle 11|) = \frac{1}{2}\begin{pmatrix}1&0&0&1\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\1&0&0&1\end{pmatrix}\).
    • B 시스템에 대해 부분 자취를 취하여 \(\rho_A\)를 계산해 봅시다. \(\rho_A = \mathrm{Tr}_B(\rho_{AB}) = \langle 0|_B \rho_{AB} |0\rangle_B + \langle 1|_B \rho_{AB} |1\rangle_B\)
    • B가 0인 부분(1, 3번째 행/열) 추출: \(\frac{1}{2}\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}\)
    • B가 1인 부분(2, 4번째 행/열) 추출: \(\frac{1}{2}\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}\)
    • 이 둘을 더합니다. \(\rho_A = \frac{1}{2}\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix} + \frac{1}{2}\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix} = \frac{1}{2}\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} = \frac{\mathbf{1}}{2}\).

    💡 이 결과의 놀라운 의미

    전체 AB 시스템은 완벽히 알려진 순수 상태(\(\mathrm{Tr}(\rho_{AB}^2)=1\))입니다. 하지만 A 시스템만 따로 떼어놓고 보면, 그 상태 \(\rho_A\)는 가장 무질서한 최대 혼합 상태(\(\mathrm{Tr}(\rho_A^2)=1/2\))가 됩니다. A의 측정 결과는 완벽히 무작위적입니다. 하지만 B의 측정 결과를 아는 순간 A의 상태가 즉각적으로 결정됩니다. 이것이 바로 얽힘의 비고전적 특성입니다.

  • 양의 연산자 예제 2: 제곱형 표현
    • 어떤 연산자 \(A\)가 양의 연산자라는 것은, \(A=B^\dagger B\) 형태로 표현될 수 있다는 것과 동치입니다.
    • 이는 \(\langle\psi|A|\psi\rangle = \langle\psi|B^\dagger B|\psi\rangle = \langle B\psi|B\psi\rangle = \|B\psi\|^2 \ge 0\) 이므로 자명합니다. 마치 복소수 \(z\)에 대해 \(z^*z = |z|^2 \ge 0\) 인 것과 같습니다. 이는 양의 연산자가 ’제곱수’와 유사한 성질을 가짐을 보여줍니다.

4. 연습문제

기본 개념 확인

  1. 텐서곱 계산: 두 연산자 \(A=\sigma_x, B=\sigma_z\)의 텐서곱 \(A \otimes B\)를 4x4 행렬로 명시적으로 계산하십시오.
  2. 텐서곱 기저: 두 큐빗 상태 \(|\psi\rangle=\tfrac{1}{2}(|00\rangle+i|01\rangle-|10\rangle-i|11\rangle)\)의 노름이 1임을 확인하고, 이 상태가 \(|\psi\rangle = |\alpha\rangle_A \otimes |\beta\rangle_B\) 형태의 분리 가능 상태(product state)인지 판별하십시오.
  3. 밀도 행렬 구성: 어떤 큐빗이 \(\frac{3}{4}\)의 확률로 \(|+\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle+|1\rangle)\) 상태에 있고, \(\frac{1}{4}\)의 확률로 \(|-\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle-|1\rangle)\) 상태에 있을 때, 이 시스템의 밀도 행렬 \(\rho\)를 구하십시오.
  4. 순수·혼합 구분: 문제 3에서 구한 밀도 행렬 \(\rho\)의 순수도 \(\mathrm{Tr}(\rho^2)\)를 계산하고 순수/혼합 여부를 판정하십시오.
  5. 기대값 계산: 문제 3의 상태 \(\rho\)에 대해 관측량 \(\sigma_z\)의 기대값 \(\langle \sigma_z\rangle\)를 계산하십시오.

부분 자취와 얽힘

  1. 부분 자취 정의 검증: \(\rho_{AB} = \rho_A \otimes \rho_B\)인 분리 상태에서 \(\mathrm{Tr}_A(\rho_{AB}) = \rho_B\)임을 증명하십시오.
  2. 벨 상태 축소: 얽힘 상태 \(|\Psi^-\rangle=\tfrac{1}{\sqrt{2}}(|01\rangle-|10\rangle)\)의 밀도 행렬 \(\rho_{AB}\)를 쓰고, A에 대한 축소 밀도 행렬 \(\rho_A=\mathrm{Tr}_B(\rho_{AB})\)를 계산하십시오.
  3. 얽힘 판정: 다음 상태의 밀도 행렬 \(\rho_{AB}\)에 대해 부분 자취 \(\rho_A\)를 계산하고, 그 순수도를 통해 원래 상태가 얽힘 상태인지 판정하십시오: \(|\psi\rangle = \cos\theta|00\rangle + \sin\theta|11\rangle\).
  4. 부분 자취와 기대값: 일반적인 결합 상태 \(\rho_{AB}\)와 A 시스템에만 작용하는 관측량 \(A_0\)에 대해, 전체 시스템에서 \(A_0 \otimes \mathbf{1}_B\)의 기대값을 구하는 것과, 축소 상태 \(\rho_A\)에서 \(A_0\)의 기대값을 구하는 것이 같음을 증명하십시오. 즉, \(\mathrm{Tr}_{AB}(\rho_{AB}(A_0 \otimes \mathbf{1}_B)) = \mathrm{Tr}_A(\rho_A A_0)\).

양의 연산자와 양자 채널

  1. 양의 연산자 판단: 행렬 \(A=\begin{pmatrix}2&-i\\i&1\end{pmatrix}\), \(B=\begin{pmatrix}1&2\\2&1\end{pmatrix}\)가 양의 연산자인지 판별하십시오. (힌트: 고유값을 확인)
  2. 크라우스 연산자: 비트 플립 채널(Bit-flip channel)은 크라우스 연산자 \(K_0=\sqrt{1-p}\,\mathbf{1}, K_1=\sqrt{p}\,\sigma_x\)로 기술됩니다. \(\sum_k K_k^\dagger K_k=\mathbf{1}\) 조건을 확인하고, 초기 상태 \(\rho=|0\rangle\langle 0|\)가 이 채널을 통과한 후의 상태 \(\Phi(\rho)\)를 계산하십시오.
  3. 블로흐 구 표현: 임의의 단일 큐빗 밀도 행렬은 \(\rho=\tfrac{1}{2}(\mathbf{1}+\vec{r}\cdot\vec{\sigma})\) 형태로 쓸 수 있습니다. \(\mathrm{Tr}(\rho^2) = \frac{1}{2}(1+\|\vec{r}\|^2)\) 임을 보이고, 이를 통해 순수 상태와 혼합 상태가 블로흐 구에서 어떻게 표현되는지 설명하십시오.

5. 해설

  1. \(A \otimes B = \begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\cdot B & 1\cdot B \\ 1\cdot B & 0\cdot B \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0&0&1&0\\0&0&0&-1\\1&0&0&0\\0&-1&0&0\end{pmatrix}\).
  2. \(\|\psi\|^2 = (\frac{1}{2})^2 (1^2+|i|^2+(-1)^2+|-i|^2) = \frac{1}{4}(1+1+1+1)=1\). 상태를 재배열하면 \(|\psi\rangle = \frac{1}{2}(|0\rangle(1|0\rangle+i|1\rangle) -|1\rangle(1|0\rangle+i|1\rangle)) = \frac{1}{2}(|0\rangle-|1\rangle) \otimes (|0\rangle+i|1\rangle)\). 정규화하면 \(|\alpha\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle-|1\rangle), |\beta\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle+i|1\rangle)\) 이므로 분리 가능 상태입니다.
  3. \(\rho = \frac{3}{4}|+\rangle\langle+| + \frac{1}{4}|-\rangle\langle-| = \frac{3}{4}\frac{1}{2}\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix} + \frac{1}{4}\frac{1}{2}\begin{pmatrix}1&-1\\-1&1\end{pmatrix} = \frac{1}{8}\begin{pmatrix}3+1&3-1\\3-1&3+1\end{pmatrix} = \frac{1}{4}\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}\).
  4. \(\rho^2 = \frac{1}{16}\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix} = \frac{1}{16}\begin{pmatrix}5&4\\4&5\end{pmatrix}\). \(\mathrm{Tr}(\rho^2) = \frac{1}{16}(5+5) = \frac{10}{16} = \frac{5}{8} < 1\). 따라서 혼합 상태입니다.
  5. \(\langle \sigma_z\rangle = \mathrm{Tr}(\rho\sigma_z) = \mathrm{Tr}\left(\frac{1}{4}\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}\right) = \mathrm{Tr}\left(\frac{1}{4}\begin{pmatrix}2&-1\\1&-2\end{pmatrix}\right) = \frac{1}{4}(2-2)=0\).
  6. \(\mathrm{Tr}_A(\rho_A \otimes \rho_B) = \mathrm{Tr}( \rho_A ) \cdot \rho_B\). 밀도 행렬의 정의에 의해 \(\mathrm{Tr}(\rho_A)=1\)이므로, 결과는 \(\rho_B\)입니다.
  7. \(\rho_{AB} = \frac{1}{2}(|01\rangle-|10\rangle)(\langle 01|-\langle 10|) = \frac{1}{2}(|01\rangle\langle 01|-|01\rangle\langle 10|-|10\rangle\langle 01|+|10\rangle\langle 10|)\). \(\rho_A = \mathrm{Tr}_B(\rho_{AB}) = \frac{1}{2}(\langle 1|\dots|1\rangle_B + \langle 0|\dots|0\rangle_B) = \frac{1}{2}(|0\rangle\langle 0| + |1\rangle\langle 1|) = \frac{\mathbf{1}}{2}\).
  8. \(\rho_{AB} = (\cos\theta|00\rangle + \sin\theta|11\rangle)(\cos\theta\langle 00| + \sin\theta\langle 11|)\). \(\rho_A = \mathrm{Tr}_B(\rho_{AB}) = \cos^2\theta|0\rangle\langle 0| + \sin^2\theta|1\rangle\langle 1| = \begin{pmatrix}\cos^2\theta&0\\0&\sin^2\theta\end{pmatrix}\). \(\mathrm{Tr}(\rho_A^2) = \cos^4\theta + \sin^4\theta\). 만약 \(\theta \in (0, \pi/2)\)이면 이 값은 1보다 작으므로 \(\rho_A\)는 혼합 상태이고, 따라서 원래 상태는 얽힘 상태입니다. \(\theta=0\) 또는 \(\pi/2\)일 때만 분리 가능 상태가 됩니다.
  9. 기저 \(\{|i\rangle_A |j\rangle_B\}\)에서, \(\mathrm{Tr}_{AB}(\rho_{AB}(A_0 \otimes \mathbf{1}_B)) = \sum_{i,j} \langle i|_A\langle j|_B \rho_{AB}(A_0 \otimes \mathbf{1}_B) |i\rangle_A|j\rangle_B\) \(= \sum_{i,j} \langle i|_A A_0 (\sum_k \langle k|_B \rho_{AB} |k\rangle_B) |i\rangle_A\). (여기서 \(A_0\)는 \(B\)와 무관) \(\sum_k \langle k|_B \rho_{AB} |k\rangle_B\)가 바로 \(\rho_A\)의 정의이므로, \(= \sum_i \langle i|_A A_0 \rho_A |i\rangle_A = \mathrm{Tr}_A(A_0 \rho_A) = \mathrm{Tr}_A(\rho_A A_0)\).
  10. A의 고유값은 \(\det(A-\lambda I) = (2-\lambda)(1-\lambda)-1=0 \implies \lambda^2-3\lambda+1=0 \implies \lambda = \frac{3\pm\sqrt{5}}{2} > 0\). 따라서 양의 연산자. B의 고유값은 \(\det(B-\lambda I) = (1-\lambda)^2-4=0 \implies \lambda=3, -1\). 음의 고유값이 있으므로 양의 연산자가 아님.
  11. \(\sum K_k^\dagger K_k = (1-p)\mathbf{1}^\dagger\mathbf{1} + p\,\sigma_x^\dagger\sigma_x = (1-p)\mathbf{1} + p\,\mathbf{1} = \mathbf{1}\). \(\rho = \begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}\). \(\Phi(\rho) = K_0\rho K_0^\dagger + K_1\rho K_1^\dagger = (1-p)\rho + p\,\sigma_x\rho\sigma_x = (1-p)\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix} + p\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix} = (1-p)\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix} + p\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1-p&0\\0&p\end{pmatrix}\). 이는 p의 확률로 비트가 뒤집혔음을 의미합니다.
  12. \(\rho^2 = \frac{1}{4}(\mathbf{1}+\vec{r}\cdot\vec{\sigma})^2 = \frac{1}{4}(\mathbf{1} + 2\vec{r}\cdot\vec{\sigma} + (\vec{r}\cdot\vec{\sigma})^2)\). \((\vec{r}\cdot\vec{\sigma})^2 = \sum_{i,j}r_i r_j \sigma_i \sigma_j = \sum_i r_i^2 \sigma_i^2 + \sum_{i\neq j} r_i r_j \sigma_i \sigma_j = \|\vec{r}\|^2\mathbf{1}\). (교차항은 상쇄) 따라서 \(\rho^2 = \frac{1}{4}((1+\|\vec{r}\|^2)\mathbf{1} + 2\vec{r}\cdot\vec{\sigma})\). \(\mathrm{Tr}(\rho^2) = \frac{1}{4}((1+\|\vec{r}\|^2)\mathrm{Tr}(\mathbf{1}) + 2\sum_i r_i \mathrm{Tr}(\sigma_i)) = \frac{1}{4}((1+\|\vec{r}\|^2)\cdot 2 + 0) = \frac{1}{2}(1+\|\vec{r}\|^2)\).
    • 순수 상태: \(\mathrm{Tr}(\rho^2)=1 \iff \|\vec{r}\|^2=1 \iff \|\vec{r}\|=1\). 즉, 블로흐 구의 표면에 있는 점들.
    • 혼합 상태: \(\mathrm{Tr}(\rho^2)<1 \iff \|\vec{r}\|<1\). 즉, 블로흐 구의 내부에 있는 점들. 최대 혼합 상태(\(\mathbf{1}/2\))는 \(\vec{r}=0\)인 원점에 해당.