1장. 힐베르트 공간과 내적, 연산자 이론

이 문서는 힐베르트 공간의 기본 개념부터 시작하여 내적, 직교성, 주요 연산자(헤르미트, 유니터리, 프로젝터)의 정의와 성질, 그리고 스펙트럴 정리와 자취(trace)에 이르기까지 핵심적인 내용을 다룹니다. 각 개념은 추상적인 정의와 함께 구체적인 예제를 통해 이해를 돕고자 합니다.

1. 기본 개념 (Fundamental Concepts)

힐베르트 공간 (Hilbert Space) 힐베르트 공간은 내적(inner product)이 정의된 벡터 공간으로, 이 내적으로부터 유도된 거리(norm)에 대해 완비성(completeness)을 갖춘 공간입니다. 이는 우리가 익숙한 유클리드 공간을 무한 차원으로 자연스럽게 확장한 개념이며, 함수 해석학, 푸리에 해석, 그리고 양자역학의 수학적 토대를 이룹니다.

상세 설명: 완비성이란 무엇인가? 완비성이란 공간 안의 모든 코시 수열(Cauchy sequence)이 그 공간 안의 한 점으로 수렴함을 의미합니다. 직관적으로 말해, 수열의 항들이 서로 점점 가까워진다면, 그들이 향하는 목적지 또한 반드시 공간 안에 존재한다는 뜻입니다. 예를 들어, 유리수 집합 $\mathbb{Q}$는 완비가 아닙니다. 원주율 $\pi$에 수렴하는 유리수 수열(예: 3, 3.1, 3.14, …)을 생각해보면, 항들은 서로 가까워지지만 극한값인 $\pi$는 유리수가 아니므로 $\mathbb{Q}$ 안에 존재하지 않습니다. 반면, 실수의 집합 $\mathbb{R}$은 완비이므로 이러한 문제가 없습니다. 힐베르트 공간의 완비성은 미분이나 적분과 같은 극한 연산을 자유롭게 사용할 수 있도록 보장하는 매우 중요한 성질입니다.

내적 (Inner Product) 내적은 두 벡터로부터 스칼라를 얻는 연산으로, 길이, 거리, 각도(직교성)와 같은 기하학적 개념을 벡터 공간에 부여합니다. 내적은 다음 세 가지 성질을 만족해야 합니다. * 켤레 대칭성 (Conjugate Symmetry): $\langle x,y \rangle = \overline{\langle y,x \rangle}$ * 첫 번째 인수에 대한 선형성 (Linearity in the first argument): $\langle ax+by,z \rangle=a\langle x,z \rangle+b\langle y,z \rangle$ * 양의 정부호성 (Positive-definiteness): $\langle x,x \rangle \ge 0$ 이며, $\langle x,x \rangle=0 \iff x=0$

헤르미트 연산자 (Hermitian Operator) $A=A^\dagger$를 만족하는 자기수반(self-adjoint) 연산자입니다. 양자역학에서는 측정 가능한 물리량(위치, 운동량, 에너지 등)을 나타내며, 항상 실수(real) 고유값을 갖고 서로 다른 고유값에 대응하는 고유벡터들은 직교(orthogonal)합니다.

유니터리 연산자 (Unitary Operator) $U^\dagger U=UU^\dagger=\mathbf{1}$을 만족하는 연산자로, 벡터의 내적과 노름(길이)을 보존하는 등거리 변환(isometry)입니다. 이는 벡터 공간의 회전이나 반사와 같이 기하학적 구조를 유지하는 변환에 해당하며, 양자역학에서는 계의 시간적 변화(time evolution)나 기저 변환(change of basis)을 기술합니다.

프로젝터 (Projector) $P^2=P$를 만족하는 멱등(idempotent) 선형 연산자입니다. 여기에 $P=P^\dagger$ 조건이 추가되면 직교 프로젝터(Orthogonal Projector)라고 하며, 이는 어떤 벡터를 특정 부분공간으로 내리는 최단거리 사영을 의미합니다.

스펙트럴 정리 (Spectral Theorem) 유한 차원 힐베르트 공간에서 모든 헤르미트 연산자는 자신의 고유값과 고유공간으로의 직교 프로젝터를 이용해 $A=\sum_{j} \lambda_j P_j$ 형태로 분해될 수 있다는 정리입니다. 이는 행렬을 $A=U^\dagger DU$ 형태로 대각화하는 것과 같습니다. 이 정리는 연산자의 본질적인 구조를 그 스펙트럼(고유값 집합)을 통해 완벽하게 이해할 수 있게 해줍니다.

자취 (Trace) 행렬의 대각 성분들의 합으로 정의되며($\mathrm{Tr}(A) = \sum_i A_{ii}$), 기저의 선택에 무관한 불변량입니다. 중요한 성질로 순환성($\mathrm{Tr}(AB) = \mathrm{Tr}(BA)$)이 있으며, 양자역학에서 밀도 행렬과 관측량의 곱의 자취는 그 관측량의 기댓값을 계산하는 데 사용됩니다.

2. 기호 및 핵심 관계식

내적과 노름:
- $\langle x,y \rangle = \overline{\langle y,x \rangle}$ (켤레 대칭)
- $\langle ax+by,z \rangle = a\langle x,z \rangle + b\langle y,z \rangle$ (선형성)
- $\|x\| = \sqrt{\langle x,x \rangle}$ (내적으로부터 유도된 노름)
- $x \perp y \iff \langle x,y \rangle = 0$ (직교 조건)
수반 연산자와 주요 연산자족:
- $\langle Ax,y \rangle = \langle x, A^\dagger y \rangle$ (수반 연산자 $A^\dagger$의 정의)
- 헤르미트: $A = A^\dagger$
- 유니터리: $U^\dagger U=UU^\dagger=\mathbf{1}$
- 직교 프로젝터: $P^2=P=P^\dagger$
직교정규 기저와 완비성:
- 직교정규 기저 $\{e_j\}$가 주어지면, 임의의 벡터 $x$는 $x=\sum_j \langle e_j,x \rangle e_j$와 같이 전개할 수 있습니다. 여기서 계수 $\langle e_j,x \rangle$는 $x$를 $e_j$ 방향으로 사영시킨 크기입니다.
- 파르세발 등식 (Parseval’s Identity): $\|x\|^2 = \sum_j |\langle e_j,x \rangle|^2$. 이는 벡터의 전체 제곱 노름이 각 기저 방향 성분들의 제곱 노름의 합과 같다는 것으로, 피타고라스 정리의 무한 차원 일반화입니다.
스펙트럴 분해 (Spectral Decomposition):
- 유한 차원 헤르미트 연산자 $A$는 $A = \sum_j \lambda_j P_j$로 분해됩니다.
- 여기서 $\lambda_j$는 $A$의 서로 다른 고유값이고, $P_j$는 고유값 $\lambda_j$에 대응되는 고유공간으로의 직교 프로젝터입니다.
- 프로젝터들은 다음을 만족합니다: $P_i P_j = \delta_{ij} P_j$ (서로 직교), $\sum_j P_j = \mathbf{1}$ (분해의 완전성).
자취의 성질:
- $\mathrm{Tr}(A+B) = \mathrm{Tr}(A)+\mathrm{Tr}(B)$ (선형성)
- $\mathrm{Tr}(AB) = \mathrm{Tr}(BA)$ (순환성)
- 자취는 기저 변환에 대해 불변입니다: $\mathrm{Tr}(U^\dagger AU) = \mathrm{Tr}(A)$

3. 손쉬운 예제 (Examples)

힐베르트 공간·내적 예제 1: $\mathbb{C}^2$
- $x=(1, i)^\mathsf{T}$, $y=(2, 0)^\mathsf{T}$
- $\langle x,y \rangle = \overline{x_1}y_1 + \overline{x_2}y_2 = \overline{1}\cdot2 + \overline{i}\cdot0 = 1\cdot2 + (-i)\cdot0 = 2$
- $\|x\| = \sqrt{\langle x,x \rangle} = \sqrt{\overline{1}\cdot1+\overline{i}\cdot i} = \sqrt{1+(-i)(i)} = \sqrt{1+1} = \sqrt{2}$ > 참고: 복소 벡터의 내적 > 복소 벡터 공간에서 내적을 정의할 때 한쪽 벡터에 켤레 복소수(conjugate)를 취하는 이유는 노름의 양의 정부호성($\|x\|^2 = \langle x,x \rangle \ge 0$)을 보장하기 위함입니다. 만약 켤레를 취하지 않으면, $x=(i,0)^{\mathsf T}$에 대해 $\langle x,x \rangle = i^2 = -1$이 되어 길이를 정의할 수 없게 됩니다.
힐베르트 공간·내적 예제 2: $L^2[0,1]$
- 구간 $[0,1]$에서 제곱 적분 가능한 함수들의 공간
- $f(t)=1$, $g(t)=t$
- $\langle f,g \rangle = \int_0^1 \overline{f(t)}g(t)dt = \int_0^1 1 \cdot t dt = \left[\frac{1}{2}t^2\right]_0^1 = \frac{1}{2}$
- $\|g\| = \sqrt{\int_0^1 |g(t)|^2 dt} = \sqrt{\int_0^1 t^2 dt} = \sqrt{\left[\frac{1}{3}t^3\right]_0^1} = \sqrt{\frac{1}{3}}$ > 상세 설명: $L^2$ 공간의 중요성 > $L^p$ 공간은 함수들의 크기를 $\left(\int |f|^p\right)^{1/p}$로 측정하는 함수 공간들의 한 종류입니다. 이 중에서 $p=2$인 $L^2$ 공간이 특별한 이유는 그 노름이 내적으로부터 유도될 수 있는 유일한 경우이기 때문입니다. 이 덕분에 $L^2$ 공간은 힐베르트 공간이 되며, 피타고라스 정리, 직교 분해, 푸리에 급수와 같은 강력한 기하학적 도구들을 함수에 적용할 수 있게 됩니다. 이는 편미분 방정식의 해를 찾거나 신호 처리에서 파동을 분석하는 등 수많은 응용 분야의 핵심이 됩니다.
직교기저·완비 예제 1: $\mathbb{C}^3$의 표준 기저
- $e_1=(1,0,0)^\mathsf{T}$, $e_2=(0,1,0)^\mathsf{T}$, $e_3=(0,0,1)^\mathsf{T}$
- $\langle e_i,e_j \rangle=\delta_{ij}$ (크로네커 델타, $i=j$일 때 1, 아닐 때 0)이므로 직교정규(orthonormal) 기저입니다.
- 임의의 벡터 $x=(x_1,x_2,x_3)^{\mathsf T}$는 $x=x_1e_1+x_2e_2+x_3e_3$로 표현됩니다. 이때 계수 $x_j$는 $x_j = \langle e_j, x \rangle$와 같습니다.
직교기저·완비 예제 2: $L^2[0,2\pi]$의 푸리에 기저
- 함수 집합 $\{\frac{e^{int}}{\sqrt{2\pi}}\}_{n\in\mathbb{Z}}$는 $L^2[0,2\pi]$ 공간의 직교정규 기저를 이룹니다.
- 임의의 함수 $f(t)$는 푸리에 급수 $f(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n \frac{e^{int}}{\sqrt{2\pi}}$로 전개할 수 있습니다.
- 푸리에 계수 $c_n$은 $c_n = \langle \frac{e^{int}}{\sqrt{2\pi}}, f(t) \rangle = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_0^{2\pi} e^{-int}f(t)dt$로 계산됩니다. 이 합은 $L^2$ 노름 의미에서 $f$로 수렴합니다.
헤르미트 예제 1: 행렬 $A=\begin{pmatrix} 2 & 1+i \\ 1-i & 0 \end{pmatrix}$
- $A^\dagger = (\overline{A})^\mathsf{T} = \overline{\begin{pmatrix} 2 & 1-i \\ 1+i & 0 \end{pmatrix}}^\mathsf{T} = \begin{pmatrix} 2 & 1+i \\ 1-i & 0 \end{pmatrix} = A$
- 따라서 A는 헤르미트 행렬이며, 그 고유값은 항상 실수입니다. (실제로 계산하면 $3, -1$이 나옵니다.)
유니터리 예제 2: 하다마드(Hadamard) 행렬 $H=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$
- $H^\dagger H = \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}\right) \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}\right) = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1+1 & 1-1 \\ 1-1 & 1+1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \mathbf{1}$
- H는 유니터리 행렬입니다. 표준 기저 $|0\rangle=(1,0)^{\mathsf T}$과 $|1\rangle=(0,1)^{\mathsf T}$를 새로운 직교정규 기저 $|+\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}(1,1)^{\mathsf T}$와 $|-\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}(1,-1)^{\mathsf T}$로 변환시키는 역할을 합니다.
프로젝터 예제 1: 1차원 부분공간으로의 사영
- 단위 벡터 $v=\tfrac{1}{\sqrt{2}}(1,1)^{\mathsf T}$가 생성하는 직선 위로의 사영 연산자 $P=|v\rangle\langle v|$
- $P = \begin{pmatrix} 1/\sqrt{2} \\ 1/\sqrt{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1/\sqrt{2} & 1/\sqrt{2} \end{pmatrix} = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$
- $P^2 = \frac{1}{4}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \frac{1}{4}\begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 2 \end{pmatrix} = P$ (멱등성)
- $P^\dagger = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = P$ (자기수반성)
- 따라서 P는 직교 프로젝터입니다.
스펙트럴 정리 예제 1: 파울리 X 행렬 $A=\sigma_x=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$
- 고유값: $\det(A-\lambda I) = \lambda^2-1=0 \implies \lambda_1=1, \lambda_2=-1$
- 정규화된 고유벡터: $v_1=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ (for $\lambda_1=1$), $v_2=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$ (for $\lambda_2=-1$)
- 프로젝터: $P_1=|v_1\rangle\langle v_1|=\frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$, $P_2=|v_2\rangle\langle v_2|=\frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$
- 스펙트럴 분해: $A=\lambda_1P_1 + \lambda_2P_2 = (1)\cdot P_1 + (-1)\cdot P_2 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$

4. 연습문제 및 해설

연습문제

내적·노름: $x=(a,ib)^\mathsf{T}, y=(1,1)^\mathsf{T} \in\mathbb{C}^2$에서 $\langle x,y \rangle, \|x\|$, 그리고 $x\perp y$가 될 조건을 구하십시오.
직교기저: $|\psi\rangle=(\alpha,\beta)^{\mathsf T}$가 정규화되었다는 조건($\|\psi\|=1$)을 식으로 나타내고, 표준기저 $\{e_1, e_2\}$를 이용한 전개식으로 표현하십시오.
헤르미트: $A=\begin{pmatrix}0&i\\-i&0\end{pmatrix}$와 $B=\begin{pmatrix}1&2\\2&1\end{pmatrix}$가 헤르미트 연산자인지 판별하고, 고유값이 실수여야 하는 이유를 설명하십시오.
유니터리: 임의의 유니터리 연산자 U는 내적과 노름을 보존함, 즉 $\langle U\phi,U\psi \rangle = \langle \phi,\psi \rangle$와 $\|U\psi\|=\|\psi\|$가 성립함을 보이십시오.
프로젝터: 3×3 행렬 J의 모든 원소가 1일 때, $P=\frac{1}{3}J$가 직교 프로젝터인지($P^2=P, P^\dagger=P$) 판별하십시오.
프로젝터 대조: $Q=\begin{pmatrix}1&1\\0&0\end{pmatrix}$가 프로젝터인지, 그리고 직교 프로젝터인지 판별하십시오.
스펙트럴 분해: $H=\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}$의 고유값과 정규직교 고유벡터를 구하고, 이를 이용해 스펙트럴 분해($H=\sum_j \lambda_j P_j$)를 수행하십시오.
기대값: 상태 벡터가 $|\psi\rangle=\cos\theta|0\rangle+\sin\theta|1\rangle$이고, 헤르미트 연산자가 7번 문제의 H일 때, 기대값 $\langle \psi|H|\psi \rangle$를 $\theta$의 함수로 표현하십시오.
자취 순환: $\mathrm{Tr}(ABC)=\mathrm{Tr}(BCA)=\mathrm{Tr}(CAB)$를 증명하고, 일반적인 순열(예: ABC→ACB)에 대해서는 성립하지 않는 반례를 드십시오.
사영 정리: 힐베르트 공간의 닫힌 부분공간 M과 임의의 벡터 x에 대해, x와 가장 가까운 M의 원소는 직교 사영 Px로 유일하게 존재함을 진술하고($\|x-Px\|=\inf_{m\in M} \|x-m\|$), 이를 $\mathbb{R}^2$에 그림으로 표현하여 직관적으로 해석하십시오.
유니터리와 기저: $\{e_j\}$가 정규직교 기저일 때, 유니터리 연산자 U로 변환된 집합 $\{Ue_j\}$ 또한 정규직교 기저임을 보이십시오.
프로젝터 스펙트럼: 직교 프로젝터 P의 고유값은 0 또는 1 뿐임을 보이십시오.

연습문제 해설

$\langle x,y \rangle = \bar{a}\cdot 1 + \overline{(ib)}\cdot 1 = a-ib$. $\|x\|=\sqrt{\langle x,x \rangle} = \sqrt{|a|^2+|ib|^2} = \sqrt{a^2+b^2}$. $x\perp y \iff \langle x,y \rangle=0 \iff a-ib=0$. 실수 a,b에 대해 이는 $a=0$이고 $b=0$, 즉 $x=0$임을 의미합니다.
정규화 조건: $\|\psi\|^2 = \langle\psi,\psi\rangle=|\alpha|^2+|\beta|^2=1$. 표준기저 전개: $|\psi\rangle=\alpha e_1+\beta e_2$.
$A^\dagger = \overline{\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}^\mathsf{T} = \begin{pmatrix}0&i\\-i&0\end{pmatrix} = A$. $B^\dagger = \begin{pmatrix}1&2\\2&1\end{pmatrix}^\mathsf{T} = B$. 둘 다 헤르미트입니다. 이유: $A$가 헤르미트이고 $Ax=\lambda x$라 하면, $\lambda\langle x,x \rangle = \langle x,\lambda x \rangle = \langle x,Ax \rangle = \langle A^\dagger x,x \rangle = \langle Ax,x \rangle = \langle \lambda x,x \rangle = \bar{\lambda}\langle x,x \rangle$. $\|x\|\neq 0$이므로, $\lambda=\bar{\lambda}$ 즉, $\lambda$는 실수입니다.
$\langle U\phi,U\psi \rangle = \langle \phi,U^\dagger(U\psi) \rangle = \langle \phi,(U^\dagger U)\psi \rangle = \langle \phi, \mathbf{1}\psi \rangle = \langle \phi,\psi \rangle$. $\|U\psi\|^2 = \langle U\psi,U\psi \rangle = \langle \psi,\psi \rangle = \|\psi\|^2 \implies \|U\psi\|=\|\psi\|$.
$J$의 모든 원소가 1이므로, $J^2=3J$가 성립합니다. $P^2 = (\frac{1}{3}J)^2 = \frac{1}{9}J^2 = \frac{1}{9}(3J) = \frac{1}{3}J = P$. (멱등성 성립) $J$는 실수 대칭 행렬이므로 $J^\dagger=J$이고, 따라서 $P^\dagger=P$입니다. (자기수반성 성립) 따라서 P는 직교 프로젝터입니다.
$Q^2 = \begin{pmatrix}1&1\\0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&1\\0&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&1\\0&0\end{pmatrix}=Q$. 멱등이므로 프로젝터입니다. 하지만 $Q^\dagger = \begin{pmatrix}1&0\\1&0\end{pmatrix} \neq Q$이므로 직교 프로젝터는 아닙니다. (이는 빗사영(oblique projection)에 해당합니다.)
고유값: $\det(H-\lambda I)=(2-\lambda)^2-1=0 \implies \lambda=1,3$. 고유벡터: $\lambda_1=3 \to v_1=\frac{1}{\sqrt{2}}(1,1)^\mathsf{T}$, $\lambda_2=1 \to v_2=\frac{1}{\sqrt{2}}(1,-1)^\mathsf{T}$. 프로젝터: $P_1=|v_1\rangle\langle v_1|=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}$, $P_2=|v_2\rangle\langle v_2|=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}1&-1\\-1&1\end{pmatrix}$. 분해: $H=3\cdot P_1 + 1\cdot P_2$.
$|\psi\rangle = \begin{pmatrix}\cos\theta\\\sin\theta\end{pmatrix}$. $\langle \psi|H|\psi \rangle = \begin{pmatrix}\cos\theta & \sin\theta\end{pmatrix} \begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}\cos\theta\\\sin\theta\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\cos\theta & \sin\theta\end{pmatrix} \begin{pmatrix}2\cos\theta+\sin\theta\\\cos\theta+2\sin\theta\end{pmatrix} = 2\cos^2\theta + 2\sin\theta\cos\theta+2\sin^2\theta = 2(\cos^2\theta+\sin^2\theta)+2\sin\theta\cos\theta = 2+\sin(2\theta)$.
$\mathrm{Tr}(ABC)=\sum_i (ABC)_{ii} = \sum_{i,j,k} A_{ij}B_{jk}C_{ki}$. 합의 순서를 바꾸면 $\sum_{j,k,i} B_{jk}C_{ki}A_{ij} = \sum_j (BCA)_{jj} = \mathrm{Tr}(BCA)$. 같은 방식으로 $\mathrm{Tr}(CAB)$도 같습니다. 반례: $A=\sigma_x, B=\sigma_y, C=\sigma_z$ (파울리 행렬). $\mathrm{Tr}(ABC)=\mathrm{Tr}(i\mathbf{1})=2i$, $\mathrm{Tr}(ACB)=\mathrm{Tr}(-i\mathbf{1})=-2i$.
힐베르트 사영 정리: 힐베르트 공간 H의 임의의 닫힌 볼록 부분집합 M과 $x\in H$에 대해, $\|x-m\|$을 최소화하는 $m\in M$이 유일하게 존재합니다. M이 닫힌 부분공간일 경우, 이 최소 거리점은 x의 M 위로의 직교 사영 Px와 같습니다.

위 그림에서 벡터 x와 부분공간(직선) M 위의 모든 점 m 사이의 거리는, x에서 M으로 수선의 발을 내렸을 때의 점 Px에서 가장 짧아집니다.
$\{Ue_j\}$가 직교정규 기저임을 보이려면 $\langle Ue_i, Ue_j\rangle = \delta_{ij}$임을 보이면 됩니다. 4번 문제에서 증명했듯이 U가 유니터리이므로 $\langle Ue_i,Ue_j \rangle = \langle e_i, U^\dagger U e_j \rangle = \langle e_i, e_j \rangle = \delta_{ij}$. 따라서 $\{Ue_j\}$는 직교정규 집합이며, 원래 기저와 원소 개수가 같으므로 새로운 직교정규 기저가 됩니다.
$Px=\lambda x$라 하자 ($x$는 고유벡터, $\lambda$는 고유값). P는 프로젝터이므로 $P^2=P$입니다. $P(Px) = P(\lambda x) \implies P^2x = \lambda(Px) \implies Px = \lambda(\lambda x) = \lambda^2 x$. 따라서 $\lambda x = \lambda^2 x$ 이고, $(\lambda^2-\lambda)x=0$. 고유벡터 x는 영벡터가 아니므로, $\lambda^2-\lambda=\lambda(\lambda-1)=0$. 이를 만족하는 고유값은 $\lambda=0$ 또는 $\lambda=1$ 뿐입니다.

💡 참고: 자취(Trace) 연산을 이용한 기대값 계산 예시

양자역학에서 특정 상태에 대해 어떤 물리량을 측정했을 때의 평균값(기대값)은 밀도 행렬과 관측량 연산자를 이용해 간단히 계산할 수 있습니다.

상태 (밀도 행렬): $\rho = \begin{pmatrix} p & 0 \\ 0 & 1-p \end{pmatrix}$ (의미: 상태 $|0\rangle$일 확률이 $p$, 상태 $|1\rangle$일 확률이 $1-p$인 혼합 상태)
관측량 (Observable): $\sigma_z = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$ (의미: 측정값이 +1 또는 -1이 나오는 물리량)

이때 $\sigma_z$의 기대값은 $\mathrm{Tr}(\rho\sigma_z)$로 계산합니다.

$ (_z) = ( \[\begin{pmatrix} p & 0 \\ 0 & 1-p \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\] ) = ( \[\begin{pmatrix} p & 0 \\ 0 & -(1-p) \end{pmatrix}\]

) $

자취(Trace)는 행렬의 대각 성분을 모두 더하는 것이므로,

$ (_z) = p + (-(1-p)) = p - 1 + p = 2p - 1 $

이 계산의 물리적 의미

이 결과는 고전적인 기대값 계산과 정확히 일치합니다.

기대값 = (값 1) × (값 1이 나올 확률) + (값 2) × (값 2가 나올 확률)

$= (+1) \times p + (-1) \times (1-p)$

$= 2p - 1$

이처럼 자취($\mathrm{Tr}$) 연산은 복잡해 보이는 행렬 곱셈을 통해 시스템의 평균적인 물리량을 추출하는 강력하고 일관된 수학적 도구입니다.