6장. 열린 양자 시스템의 동역학: 양자 채널과 표현법

이상적인 양자 시스템은 외부와 완벽히 차단되어 유니타리(Unitary)하게 진화하지만, 현실의 모든 시스템은 주변 환경(Environment)과의 상호작용에서 자유로울 수 없습니다. 이러한 열린 양자 시스템(Open Quantum System)의 시간 변화는 더 이상 단순한 유니타리 변환이 아니며, 정보 손실과 결어긋남(Decoherence)과 같은 비가역적 과정을 포함합니다. 양자 채널(Quantum Channel)은 이러한 일반적인 양자 과정을 수학적으로 기술하는 강력한 틀이며, 이를 바라보는 세 가지 핵심적인 관점—크라우스 표현, 스틴스프링 확장, 초이 표현—이 있습니다.

1. 기본 개념 (Fundamental Concepts)

  • 양자 채널 (Quantum Channel / CPTP Map): 닫힌계의 유니타리 변환을 열린계로 일반화한 개념입니다. 물리적으로 가능한 모든 양자 상태의 변화는, 밀도 행렬을 다른 밀도 행렬로 보내는 선형 사상(linear map) \(\mathcal{E}\)로 기술됩니다. 이 사상은 두 가지 핵심 조건을 만족해야 합니다.

    1. 자취 보존 (Trace-Preserving, TP): \(\mathrm{Tr}(\mathcal{E}(\rho)) = \mathrm{Tr}(\rho)=1\). 전체 확률은 항상 1로 보존되어야 합니다.
    2. 완전 양성 (Completely Positive, CP): 사상 \(\mathcal{E}\)는 모든 양의 연산자를 양의 연산자로 보내야 할 뿐만 아니라, 임의의 보조 시스템과 얽혀 있는 상태에 대해서도 양성을 유지해야 합니다.

    상세 설명: 왜 그냥 ’양성’이 아니라 ’완전 양성’이어야 할까? 🤔

    어떤 변환이 양성(Positive)이라는 것은, 유효한 상태(양의 고유값을 갖는 \(\rho\))를 유효한 상태로 보낸다는 의미입니다. 하지만 이것만으로는 충분하지 않습니다.

    만약 우리 시스템 \(S\)가 외부의 다른 시스템 \(R\)과 얽혀있다고 상상해 봅시다. 전체 시스템 \(SR\)의 상태는 유효하지만, \(S\)에만 국소적으로 물리적 변환 \(\mathcal{E}\)를 가했을 때, 전체 \(SR\)의 상태가 음의 확률을 갖는 비물리적인 상태로 변하면 안 됩니다.

    완전 양성은 바로 이 조건을 보장합니다. 즉, “우리가 모르는 외부 시스템과 어떻게 얽혀 있더라도, 국소적인 연산은 전체 시스템의 물리적 타당성을 절대 깨뜨리지 않는다”는 강력한 조건입니다. 행렬의 전치(transpose) 연산은 양성이지만 완전 양성이 아닌 대표적인 예입니다.

  • 크라우스 표현 (Kraus Representation): 모든 양자 채널(CPTP 맵)은 여러 개의 크라우스 연산자(Kraus Operator) \(\{K_k\}\)들의 합으로 분해될 수 있다는 정리입니다. 이는 채널의 작용을 이해하기 쉬운 연산의 합으로 보여주는 ‘조작적’ 관점입니다. \(\mathcal{E}(\rho) = \sum_k K_k \rho K_k^\dagger\) 자취 보존 조건은 \(\sum_k K_k^\dagger K_k = \mathbf{1}\) 로 표현됩니다.

  • 스틴스프링 확장 (Stinespring Dilation): 모든 양자 채널은 더 큰 ‘시스템+환경’ 전체의 유니타리 진화로 볼 수 있다는 것을 보여주는 ‘물리적’ 관점입니다. 즉, 어떤 복잡한 비가역 과정이라도, 우리가 관찰하지 못하는 환경(Environment)을 도입하면 전체는 단순한 양자역학 법칙(유니타리 진화)을 따르고 있다는 심오한 통찰을 줍니다. \(\mathcal{E}(\rho) = \mathrm{Tr}_E \left[ U(\rho \otimes |0\rangle\langle 0|_E) U^\dagger \right]\) 여기서 \(U\)는 전체 시스템에서 작용하는 유니타리 연산자이며, \(\mathrm{Tr}_E\)는 환경에 대한 정보를 버리는 부분 자취(partial trace) 연산입니다.

  • 초이 표현 (Choi Representation): 양자 채널이라는 ‘과정(map)’을 ’상태(state)’와 일대일로 대응시키는 ’수학적’ 관점입니다. 채널 \(\mathcal{E}\)에 최대로 얽힌 상태 \(|\Phi^+\rangle\)의 한쪽 큐빗을 통과시켜 얻은 초이 행렬(Choi Matrix) \(J(\mathcal{E})\)은 채널의 모든 정보를 담고 있는 ’지문’과 같습니다. 이 행렬이 양의 반정부호 행렬인지 확인하는 것만으로 채널이 완전 양성인지 아닌지를 판별할 수 있습니다.

  • 결어긋남 (Decoherence): 열린 양자 시스템의 핵심 현상으로, 시스템이 환경과 얽히면서 양자 중첩 상태의 위상 정보(결맞음, coherence)가 사라지는 과정입니다. 밀도 행렬에서는 비대각 성분(off-diagonal elements)이 점차 0으로 감쇠하는 것으로 나타나며, 이는 양자적 중첩이 고전적인 확률적 혼합으로 바뀌는 것처럼 보이게 만듭니다.

2. 기호 및 핵심 관계식

  • CPTP 맵 \(\mathcal{E}\)의 조건:
    • 선형성: \(\mathcal{E}(a\rho_1 + b\rho_2) = a\mathcal{E}(\rho_1) + b\mathcal{E}(\rho_2)\)
    • 자취 보존 (TP): \(\mathrm{Tr}(\mathcal{E}(\rho)) = \mathrm{Tr}(\rho)\) for all \(\rho\).
    • 완전 양성 (CP): \(\mathcal{E} \otimes \mathsf{id}_k\) 가 모든 차원 \(k\)의 보조 시스템에 대해 양성 사상이어야 함. (\(\mathsf{id}_k\)는 \(k\)차원 항등 채널)
  • 크라우스 표현 (Operator-Sum Representation):
    • 채널의 작용: \(\mathcal{E}(\rho) = \sum_{k=0}^{L-1} K_k \rho K_k^\dagger\)
    • 자취 보존 조건: \(\sum_{k=0}^{L-1} K_k^\dagger K_k = \mathbf{1}_S\) (항등 연산자)

    💡 왜 \(\sum K_k^\dagger K_k = \mathbf{1}\) 이 자취를 보존할까?

    트레이스 연산자의 순환 성질(\(\mathrm{Tr}(ABC) = \mathrm{Tr}(CAB)\))을 이용하면 쉽게 보일 수 있습니다.

    \(\mathrm{Tr}(\mathcal{E}(\rho)) = \mathrm{Tr}\left(\sum_k K_k \rho K_k^\dagger\right) = \sum_k \mathrm{Tr}(K_k \rho K_k^\dagger)\)

    \(= \sum_k \mathrm{Tr}(K_k^\dagger K_k \rho) = \mathrm{Tr}\left(\left(\sum_k K_k^\dagger K_k\right) \rho\right) = \mathrm{Tr}(\mathbf{1} \cdot \rho) = \mathrm{Tr}(\rho)\).

  • 스틴스프링 확장 (Stinespring Dilation):
    • 시스템 \(H_S\), 환경 \(H_E\). 전체 공간 \(H_S \otimes H_E\).
    • 채널의 작용: \(\mathcal{E}(\rho) = \mathrm{Tr}_E \left[ U(\rho \otimes |e_0\rangle\langle e_0|) U^\dagger \right]\)
    • 여기서 \(|e_0\rangle\)는 환경의 초기 상태, \(U\)는 전체 공간에서 작용하는 유니타리 연산자.
  • 초이 표현 (Choi Representation)과 판정법:
    • 최대 얽힘 상태: \(|\Phi^+\rangle = \frac{1}{\sqrt{d}} \sum_{i=0}^{d-1} |i\rangle_S \otimes |i\rangle_R\)
    • 초이 행렬 정의: \(J(\mathcal{E}) = (\mathcal{E} \otimes \mathsf{id}_R)(|\Phi^+\rangle\langle\Phi^+|)\)
    • CPTP 필요충분조건:
      1. \(\mathcal{E}\)가 CP \(\iff\) \(J(\mathcal{E}) \ge 0\) (초이 행렬이 양의 반정부호)
      2. \(\mathcal{E}\)가 TP \(\iff\) \(\mathrm{Tr}_S(J(\mathcal{E})) = \frac{1}{d}\mathbf{1}_R\) (시스템 쪽을 부분 자취하면 항등 행렬이 나옴)

3. 손쉬운 예제 (Examples with Deeper Insight)

  • 예제 1: 위상 감쇠 채널 (Dephasing Channel)
    • 물리적 의미: 시스템의 에너지는 변하지 않지만(\(|0\rangle \leftrightarrow |0\rangle, |1\rangle \leftrightarrow |1\rangle\)), 환경과의 상호작용으로 \(|0\rangle\)과 \(|1\rangle\) 사이의 상대적 위상 정보가 무작위적으로 변하는 과정입니다. 양자 컴퓨터의 ’결어긋남’을 모델링하는 가장 기본적인 채널입니다. 🕰️
    • 크라우스 연산자: \(K_0 = \sqrt{1-p}\mathbf{1}, K_1 = \sqrt{p}\sigma_z\).
    • 작용 결과: \(\rho = \begin{pmatrix} \rho_{00} & \rho_{01} \\ \rho_{10} & \rho_{11} \end{pmatrix} \quad \xrightarrow{\mathcal{E}} \quad \begin{pmatrix} \rho_{00} & (1-2p)\rho_{01} \\ (1-2p)\rho_{10} & \rho_{11} \end{pmatrix}\)
    • 해석: 대각 성분(고전적 확률)은 불변이지만, 비대각 성분(양자적 결맞음)이 \(1-2p\) 비율로 감쇠합니다.
  • 예제 2: 진폭 감쇠 채널 (Amplitude Damping Channel)
    • 물리적 의미: 들뜬 상태의 원자가 자발적으로 광자를 방출하고 바닥 상태로 떨어지는 것과 같은 에너지 손실 과정을 모델링합니다. \(|1\rangle\) 상태가 확률 \(\gamma\)로 \(|0\rangle\) 상태로 붕괴합니다. ⚛️
    • 크라우스 연산자: \(K_0 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & \sqrt{1-\gamma} \end{pmatrix}, K_1 = \begin{pmatrix} 0 & \sqrt{\gamma} \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\).
    • 작용 결과: \(\rho = \begin{pmatrix} \rho_{00} & \rho_{01} \\ \rho_{10} & \rho_{11} \end{pmatrix} \quad \xrightarrow{\mathcal{E}} \quad \begin{pmatrix} \rho_{00} + \gamma\rho_{11} & \sqrt{1-\gamma}\rho_{01} \\ \sqrt{1-\gamma}\rho_{10} & (1-\gamma)\rho_{11} \end{pmatrix}\)
    • 해석: \(|1\rangle\)에 있을 확률(\(\rho_{11}\))이 \((1-\gamma)\)배 줄어들고, 그만큼 \(|0\rangle\)에 있을 확률(\(\rho_{00}\))이 증가합니다. 결맞음(\(\rho_{01}\))도 함께 감쇠합니다.
  • 예제 3: 진폭 감쇠 채널의 스틴스프링 확장
    • 이야기: 시스템 큐빗(\(S\))과 환경 큐빗(\(E\), 초기 상태 \(|0\rangle_E\))이 있습니다. 유니타리 연산 \(U\)는 시스템이 \(|1\rangle_S\) 상태일 때만 \(\sqrt{\gamma}\)의 확률로 환경을 \(|1\rangle_E\)로 들뜨게 하고 시스템은 \(|0\rangle_S\)으로 떨어뜨립니다.
    • 유니타리 정의: \(U (|0\rangle_S |0\rangle_E) = |0\rangle_S |0\rangle_E\) \(U (|1\rangle_S |0\rangle_E) = \sqrt{1-\gamma}|1\rangle_S |0\rangle_E + \sqrt{\gamma}|0\rangle_S |1\rangle_E\)
    • 결과: 이 \(U\)를 초기 상태 \(\rho_S \otimes |0\rangle\langle 0|_E\)에 작용시킨 후, 환경 \(E\)에 대해 부분 자취를 취하면 정확히 예제 2의 진폭 감쇠 채널이 재현됩니다. 이는 복잡한 에너지 손실 과정이 사실은 더 큰 시스템의 에너지 보존 법칙(유니타리 진화)의 일부였음을 보여줍니다.

4. 연습문제

  1. 자취 보존 확인: 크라우스 표현 \(\mathcal{E}(\rho)=\sum_k K_k \rho K_k^\dagger\)에서, \(\sum_k K_k^\dagger K_k=\mathbf{1}\) 조건이 어떻게 자취 보존 \(\mathrm{Tr}(\mathcal{E}(\rho))=\mathrm{Tr}(\rho)\)을 보장하는지 증명하십시오.
  2. 크라우스 표현의 비유일성: 두 크라우스 연산자 집합 \(\{K_k\}\)와 \(\{L_j\}\)가 유니타리 행렬 \(U\)에 의해 \(L_j = \sum_k U_{jk} K_k\) 관계에 있다면, 두 집합이 동일한 양자 채널을 기술함을 보이십시오.
  3. 위상 감쇠와 블로흐 구: 위상 감쇠 채널(\(K_0=\sqrt{1-p}\mathbf{1}, K_1=\sqrt{p}\sigma_z\))이 블로흐 벡터 \(\vec{r}=(r_x, r_y, r_z)\)를 어떻게 변환시키는지 계산하십시오.
  4. 탈분극 채널: 큐빗을 확률 \(p\)로 완전히 무작위적인 상태(\(\mathbf{1}/2\))로 만들고 확률 \(1-p\)로 그대로 두는 탈분극 채널 \(\mathcal{E}(\rho) = (1-p)\rho + p \frac{\mathbf{1}}{2}\)의 크라우스 연산자를 구하십시오.
  5. 스틴스프링 구성: 주어진 크라우스 연산자 집합 \(\{K_k\}_{k=0}^{L-1}\)으로부터 스틴스프링 확장을 위한 유니타리 연산자 \(U\)를 어떻게 구성할 수 있는지 그 절차를 서술하십시오. (힌트: \(U|\psi\rangle_S |0\rangle_E = \sum_k K_k |\psi\rangle_S |k\rangle_E\))
  6. 초이 행렬 계산: 비트 플립 채널(\(K_0=\sqrt{1-p}\mathbf{1}, K_1=\sqrt{p}\sigma_x\))의 초이 행렬 \(J(\mathcal{E})\)을 직접 계산하십시오.

5. 해설

  1. \(\mathrm{Tr}(\mathcal{E}(\rho)) = \mathrm{Tr}(\sum_k K_k \rho K_k^\dagger) = \sum_k \mathrm{Tr}(K_k \rho K_k^\dagger) = \sum_k \mathrm{Tr}(K_k^\dagger K_k \rho) = \mathrm{Tr}((\sum_k K_k^\dagger K_k)\rho) = \mathrm{Tr}(\mathbf{1}\cdot\rho) = \mathrm{Tr}(\rho)\).
  2. \(\sum_j L_j \rho L_j^\dagger = \sum_j (\sum_k U_{jk} K_k) \rho (\sum_l U_{jl}^* K_l^\dagger) = \sum_{k,l} (\sum_j U_{jk} U_{jl}^*) K_k \rho K_l^\dagger\). \(U\)가 유니타리이므로 \(\sum_j U_{jk} U_{jl}^* = (UU^\dagger)_{kl} = \delta_{kl}\). 따라서, \(\sum_k K_k \rho K_k^\dagger\)가 되어 동일한 채널이 됩니다.
  3. \(\rho = \frac{1}{2}(\mathbf{1}+\vec{r}\cdot\vec{\sigma})\). \(\mathcal{E}(\rho) = (1-p)\rho + p\sigma_z\rho\sigma_z = \dots = \frac{1}{2}(\mathbf{1} + (1-2p)r_x\sigma_x + (1-2p)r_y\sigma_y + r_z\sigma_z)\). 따라서 \(\vec{r} \to ((1-2p)r_x, (1-2p)r_y, r_z)\)로 변환됩니다. \(xy\) 평면 방향으로 수축합니다.
  4. \(\mathcal{E}(\rho)\)는 \(K_0=\sqrt{1-p/2}\mathbf{1}, K_1=\sqrt{p/6}\sigma_x, K_2=\sqrt{p/6}\sigma_y, K_3=\sqrt{p/6}\sigma_z\)로 표현될 수 있습니다. \(\sum K_i^\dagger K_i = (1-p/2+3p/6)\mathbf{1}=\mathbf{1}\)을 만족합니다. (다른 형태도 가능합니다)
  5. 시스템 힐베르트 공간 \(H_S\), 환경 힐베르트 공간 \(H_E=\mathbb{C}^L\)을 준비합니다. 환경의 기저를 \(\{|k\rangle_E\}_{k=0}^{L-1}\)라 할 때, 유니타리 연산자 \(U\)의 작용을 \(H_S \otimes \{|0\rangle_E\}\) 부분공간에 대해 \(U(|\psi\rangle_S |0\rangle_E) = \sum_{k=0}^{L-1} (K_k |\psi\rangle_S) \otimes |k\rangle_E\) 로 정의합니다. 이 정의는 내적을 보존하므로, 나머지 직교여공간(orthogonal complement)으로 \(U\)를 확장하여 전체 공간에서 유니타리 연산자를 만들 수 있습니다.
  6. \(|\Phi^+\rangle\langle\Phi^+| = \frac{1}{2}(|00\rangle\langle 00| + |00\rangle\langle 11| + |11\rangle\langle 00| + |11\rangle\langle 11|)\). 여기에 \(\mathcal{E}\otimes\mathsf{id}\)를 적용하면, \(\mathcal{E}\)는 첫 번째 큐빗에만 작용합니다. \(\mathcal{E}(|0\rangle\langle 0|) = (1-p)|0\rangle\langle 0|+p|1\rangle\langle 1|\), \(\mathcal{E}(|1\rangle\langle 1|) = (1-p)|1\rangle\langle 1|+p|0\rangle\langle 0|\), \(\mathcal{E}(|0\rangle\langle 1|) = \sqrt{1-p}^2|0\rangle\langle 1|+\sqrt{p}^2|1\rangle\langle 0| = (1-2p)|0\rangle\langle 1|\) (단, 이 예제에선 필요 없음). 최종 \(J(\mathcal{E})\)는 이들을 조합하여 얻어집니다.