4장. 정지 작용의 원리와 라그랑주 동역학

3장에서는 해밀토니안(\(H\))이 시간 진화의 ‘생성자’(\(U(t)=e^{-iHt/\hbar}\))가 되는 양자역학의 동역학을 배웠습니다. 이는 “상태가 주어지면, 미래는 \(H\)가 결정한다”는 관점입니다.

하지만 고전 역학에는 이와 동등하면서도, 근본적으로 다른 철학을 가진 동역학 체계가 있습니다. 바로 라그랑주 동역학입니다. 이 관점은 “입자는 \(t_1\)에서 \(t_2\)로 갈 때, 가능한 모든 경로 중 ‘작용(Action)’이라는 값을 ’정지(Stationary)’시키는 단 하나의 경로를 선택한다”고 말합니다.

이 챕터는 5장에서 배울 파인만의 경로적분(Path Integral)을 이해하기 위한 필수적인 수학적, 개념적 준비 과정입니다. 경로적분은 “양자 입자는 모든 경로를 동시에 통과한다”고 말하는데, 이 4장의 ’정지 작용 원리’가 바로 그 무수한 양자 경로들 속에서 “왜 우리는 단 하나의 고전적 경로만을 관측하는가?”에 대한 해답을 주기 때문입니다.

1. 기본 개념 (Fundamental Concepts)

함수적 (Functional) 과 작용 (Action, \(S\)):
- 함수 \(f(x)\)는 숫자 \(x\)를 입력받아 숫자 \(f(x)\)를 반환합니다.
- 함수적 \(S[x(t)]\)은 함수(경로) \(x(t)\)를 통째로 입력받아 숫자 \(S\)를 반환합니다.
- 작용(Action)은 특정 경로 \(x(t)\)에 대한 ‘비용’ 또는 ’점수’를 매기는 함수적입니다. 이 ’비용’은 라그랑지안 \(L\)을 경로 전체에 대해 적분하여 계산합니다. \[S[x(t)] = \int_{t_1}^{t_2} L(x(t), \dot{x}(t), t) dt\]
- 라그랑지안 \(L\)은 (일반적으로) 운동 에너지(\(T\))와 위치 에너지(\(V\))의 차이, \(L = T - V\)로 정의됩니다.
정지 작용의 원리 (Principle of Stationary Action): 자연은 \(t_1\)의 \(x_1\)에서 \(t_2\)의 \(x_2\)로 이동할 때, 가능한 무한대의 경로 중에서 작용 \(S\)를 최소(minimum) 또는 최대(maximum), 혹은 그 사이의 안장점(saddle point)으로 만드는 경로를 따른다는 물리 법칙입니다. 이 세 가지를 통틀어 ‘정지(Stationary)’시킨다고 말합니다.
- “정지”란, 우리가 그 ‘올바른’ 고전 경로 \(x_{cl}(t)\)에서 아주 살짝(\(\delta x\)) 벗어난 경로로 가더라도, 1차 근사 수준에서는 전체 작용 \(S\)의 값이 변하지 않음(\(\delta S = 0\))을 의미합니다.
변분법 (Calculus of Variations): ’정지 작용의 원리’를 만족하는 경로(즉, \(\delta S = 0\)이 되는 경로)를 찾는 수학적 도구입니다. 이는 일반 함수에서 극값을 찾기 위해 미분(\(df/dx=0\))을 사용하는 것을 ’함수적’의 세계로 확장한 것입니다.
오일러-라그랑주 방정식 (Euler-Lagrange Equation): 변분법을 사용하여 \(\delta S = 0\)이라는 조건을 풀었을 때 나오는 결과입니다. 이 방정식의 ‘해(solution)’가 바로 그 ’올바른’ 고전 경로입니다. 즉, 이것이 뉴턴의 \(F=ma\)를 대체하는 새로운 운동 방정식입니다. \[\frac{\partial L}{\partial x} - \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}\right) = 0\]
정상 위상 근사 (Stationary Phase Approximation): 이 개념은 4장(고전 역학)과 5장(양자 역학)을 잇는 가장 중요한 다리입니다.
💡 왜 \(\delta S=0\)인 경로가 고전 세계에서 유일하게 관측될까?

5장에서 배울 파인만의 경로적분은, 입자가 \(x_1\)에서 \(x_2\)로 갈 때의 총 확률 진폭 \(K(2, 1)\)이 모든 가능한 경로의 진폭을 합한 것이라고 말합니다.

\[K(2, 1) = \sum_{\text{모든 경로}} e^{iS[x]/\hbar}\]
- 고전적이지 않은 경로 (\(x_{\text{non-cl}}\)): 이 경로 주변의 경로들은 \(S\)값이 급격하게 변합니다. 따라서 \(e^{iS/\hbar}\)의 위상(phase)이 제멋대로 회전하여, 서로 다른 경로의 진폭들이 서로 상쇄(destructive interference)되어 사라집니다.
- 고전적 경로 (\(x_{\text{cl}}\)): 이 경로는 \(\delta S = 0\)을 만족합니다. 즉, 이 경로 주변에서는 \(S\)값이 거의 변하지 않습니다. 따라서 \(e^{iS/\hbar}\)의 위상이 거의 동일하게 유지되어, 모든 주변 경로의 진폭들이 보강 간섭(constructive interference)을 일으켜 강력하게 살아남습니다.
\(\hbar\)(플랑크 상수)가 0에 가까운 거시 세계에서는 이 보강 간섭 효과가 극단적으로 강해져, 오직 \(\delta S=0\)인 고전 경로 하나만이 우리 눈에 보이는 것입니다. 이것이 바로 ’정상 위상(Stationary Phase)’의 직관입니다.

2. 기호 및 핵심 관계식

경로와 변분 (Path and Variation):
- 고전 경로: \(x_{\text{cl}}(t)\)
- 가상의 경로: \(x(t) = x_{\text{cl}}(t) + \delta x(t)\) (단, \(\delta x(t_1) = \delta x(t_2) = 0\), 시작점과 끝점은 고정)
- 정지 작용 조건: \(S\)의 1차 변분이 0이어야 함. \(\delta S = 0\)
오일러-라그랑주 방정식 (E-L Equation):
- 1차원: \(\frac{\partial L}{\partial x} - \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}\right) = 0\)
- 다차원 (벡터 표기): \(\nabla_q L - \frac{d}{dt}\left(\nabla_{\dot{q}} L\right) = 0\) (여기서 \(\nabla_q = (\partial/\partial q_1, \dots)\), \(\nabla_{\dot{q}} = (\partial/\partial \dot{q}_1, \dots)\))
뇌터의 정리 (Noether’s Theorem) - (3장과의 연결): 3장에서 배운 ‘대칭성 \(\to\) 보존량’ 관계가 라그랑주 형식에서도 명확히 나타납니다.
- 일반화 운동량 (\(p_k\)): \(p_k \equiv \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_k}\)
- 공간 대칭 (순환 좌표): 만약 \(L\)이 특정 좌표 \(q_k\)에 무관하다면(\(\frac{\partial L}{\partial q_k} = 0\)), E-L 방정식은 \(\frac{d}{dt}(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_k}) = 0\), 즉 \(p_k\) (그 좌표의 일반화 운동량)가 보존됨을 의미합니다.
- 시간 대칭 (에너지 보존): 만약 \(L\)이 시간 \(t\)에 명시적으로 무관하다면(\(\frac{\partial L}{\partial t} = 0\)), \(E = \sum_k \dot{q}_k \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_k} - L\) (에너지)가 보존됩니다.
제약과 라그랑주 승수 (Constraints):
- \(g(q, t) = 0\)이라는 제약 조건이 있는 경우, ‘확장된’ 라그랑지안 \(L' = L + \lambda(t) g(q, t)\)를 정의합니다.
- \(\lambda\)(라그랑주 승수)를 새로운 좌표처럼 취급하여, \(q\)와 \(\lambda\)에 대해 각각 E-L 방정식을 풉니다.

3. 손쉬운 예제 (Examples with Deeper Insight)

예제 1: 자유 입자 (등속 운동)
- 라그랑지안: \(L = T - V = \frac{1}{2}m\dot{x}^2 - 0\)
- E-L 방정식: \(\frac{\partial L}{\partial x} = 0\), \(\frac{\partial L}{\partial \dot{x}} = m\dot{x}\) \(0 - \frac{d}{dt}(m\dot{x}) = 0 \implies m\ddot{x} = 0\)
- 해석: 운동 방정식은 \(\ddot{x}=0\) (가속도 0), 즉 등속 직선 운동입니다. 퍼텐셜이 0일 때, ‘작용’(운동 에너지의 적분)을 정지시키는 경로는 가장 느긋한 등속 운동 경로입니다.
예제 2: 조화 진동자
- 라그랑지안: \(L = T - V = \frac{1}{2}m\dot{x}^2 - \frac{1}{2}kx^2\)
- E-L 방정식: \(\frac{\partial L}{\partial x} = -kx\), \(\frac{\partial L}{\partial \dot{x}} = m\dot{x}\) \((-kx) - \frac{d}{dt}(m\dot{x}) = 0 \implies -kx - m\ddot{x} = 0 \implies m\ddot{x} + kx = 0\)
- 해석: \(F=ma\) (여기서 \(F=-kx\))와 정확히 동일한 운동 방정식을 얻습니다. 이는 라그랑주 역학이 뉴턴 역학과 동등함을 보여줍니다.
예제 3: 최단 경로 (직선)
- 상황: \((x_1, y_1)\)에서 \((x_2, y_2)\)까지 가는 경로의 길이 \(S\)를 최소화하는 문제.
- ‘작용’: \(S = \int ds = \int \sqrt{dx^2 + dy^2} = \int_{x_1}^{x_2} \sqrt{1 + (y')^2} dx\) (단, \(y' = dy/dx\))
- ‘라그랑지안’: \(L(y, y') = \sqrt{1 + y'^2}\)
- E-L 방정식: (여기서 \(t\) 대신 \(x\)가 매개변수) \(\frac{\partial L}{\partial y} - \frac{d}{dx}(\frac{\partial L}{\partial y'}) = 0\) \(\frac{\partial L}{\partial y} = 0\) (순환 좌표 \(\to\) 보존량!) \(0 - \frac{d}{dx}\left(\frac{y'}{\sqrt{1 + y'^2}}\right) = 0 \implies \frac{y'}{\sqrt{1 + y'^2}} = C\) (상수)
- 해석: \(y' = \text{상수}\)임을 의미하며, 이는 \(y(x) = ax + b\), 즉 직선입니다. 유클리드 공간에서 ‘작용’(길이)을 정지(최소)시키는 경로는 직선입니다.
예제 4: 뇌터의 정리 (각운동량 보존)
- 상황: 중심력 \(V(r)\) 하에서 극좌표(\(r, \theta\))로 움직이는 입자.
- 라그랑지안: \(L = T - V = \frac{1}{2}m(\dot{r}^2 + r^2\dot{\theta}^2) - V(r)\)
- E-L ( \(\theta\) 좌표): \(\frac{\partial L}{\partial \theta} = 0\) ( \(L\)이 \(\theta\)에 무관, 즉 ‘회전 대칭’) \(\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}}\right) = 0\)
- 보존량: \(\frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}} = m r^2 \dot{\theta} = \text{const}\).
- 해석: \(mr^2\dot{\theta}\)는 각운동량(\(J_z\))입니다. 3장에서 배운 ’회전 대칭성’이 ’각운동량 보존’을 낳는다는 뇌터의 정리가 E-L 방정식을 통해 자연스럽게 유도됩니다.

4. 연습문제

(E-L 유도): \(S[x]=\int_{t_1}^{t_2}L(x,\dot x)\,dt\)와 \(x(t) = x_{cl}(t) + \epsilon \eta(t)\) (단, \(\eta(t_1)=\eta(t_2)=0\))를 이용하여, \(\delta S = \left.\frac{dS}{d\epsilon}\right|_{\epsilon=0} = 0\) 조건으로부터 오일러-라그랑주 방정식을 직접 유도하십시오. (힌트: 부분적분)
(자유 입자): 자유 입자의 E-L 방정식(\(m\ddot{x}=0\))과 일반해(\(x(t)=at+b\))를 구하십시오.
(조화 진동자): 조화 진동자의 E-L 방정식(\(m\ddot{x}+kx=0\))과 일반해(\(x(t)=A\cos(\omega t)+B\sin(\omega t)\))를 구하십시오.
(에너지 보존): \(L=L(q, \dot{q})\)가 시간 \(t\)에 명시적으로 의존하지 않을 때(\(\partial L/\partial t = 0\)), 에너지 함수 \(E = \dot{q}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}} - L\)가 상수(\(dE/dt=0\))임을 증명하십시오.
(순환 좌표): \(L\)이 어떤 좌표 \(q_k\)에 무관(\(\partial L/\partial q_k=0\))할 때, \(p_k = \partial L/\partial \dot{q}_k\) (일반화 운동량)가 보존됨을 증명하십시오.
(다차원 E-L): \(q=(q_1, \dots, q_n)\)일 때, 벡터 형태의 E-L 방정식 \(\nabla_q L - \frac{d}{dt}\nabla_{\dot{q}} L = 0\)을 유도하십시오.
(자연 경계 조건): \(t_1\)은 고정(\(\delta x(t_1)=0\))이지만 \(t_2\)는 자유(\(\delta x(t_2)\neq 0\))일 때, \(\delta S=0\) 조건이 운동방정식 외에 어떤 추가적인 ’경계 조건’을 주는지 유도하십시오.
(라그랑주 승수): \(x^2+y^2=R^2\) 제약 하에서 \(L=\frac{1}{2}m(\dot{x}^2+\dot{y}^2) - V(x,y)\)의 운동 방정식을 라그랑주 승수 \(\lambda\)를 이용해 유도하십시오.
(정상 위상 직관): 두 경로 \(x_A, x_B\)가 \(S[x_A] = 100\hbar, S[x_B] = 100.5\hbar\) 라고 가정합시다. 이 두 경로의 양자 진폭 \(e^{iS/\hbar}\)은 서로 보강 간섭합니까, 상쇄 간섭합니까? 그 이유는 무엇입니까?
(2차 변분): \(L=\frac{1}{2}\dot{x}^2\) (자유 입자)에 대해, \(\delta^2 S\) (2차 변분)를 계산하여 \(\delta^2 S > 0\) 임을 보이십시오. 이는 고전 경로가 작용을 ’최소화’함을 의미합니다.

5. 해설

\(\delta S = \int \left( \frac{\partial L}{\partial x}\delta x + \frac{\partial L}{\partial \dot{x}}\delta \dot{x} \right) dt = \int \left( \frac{\partial L}{\partial x}\eta + \frac{\partial L}{\partial \dot{x}}\dot{\eta} \right) \epsilon dt\). \(\frac{dS}{d\epsilon} = \int \left( \frac{\partial L}{\partial x}\eta + \frac{\partial L}{\partial \dot{x}}\dot{\eta} \right) dt\). 두 번째 항을 부분적분: \(\int (\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}\dot{\eta}) dt = \left[ \frac{\partial L}{\partial \dot{x}}\eta \right]_{t_1}^{t_2} - \int \left( \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{x}} \right) \eta dt\). 경계 조건 \(\eta(t_1)=\eta(t_2)=0\)에 의해 첫 항은 0. \(\frac{dS}{d\epsilon} = \int \left( \frac{\partial L}{\partial x} - \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{x}} \right) \eta(t) dt\). 이것이 모든 \(\eta(t)\)에 대해 0이 되어야 하므로, 괄호 안의 항이 0이어야 함 (E-L 방정식).
(예제 1 참고) \(m\ddot{x}=0 \implies \dot{x}=a \implies x(t)=at+b\).
(예제 2 참고) \(m\ddot{x}+kx=0 \implies \ddot{x} + \omega^2 x = 0\) (단, \(\omega^2=k/m\)). 해는 \(x(t)=A\cos(\omega t)+B\sin(\omega t)\).
\(dE/dt = \frac{d}{dt}(\dot{q}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}} - L) = \ddot{q}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}} + \dot{q}\frac{d}{dt}(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}) - (\frac{\partial L}{\partial q}\dot{q} + \frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\ddot{q} + \frac{\partial L}{\partial t})\). \(\partial L/\partial t = 0\) 이고, E-L 방정식 \(\frac{d}{dt}(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}) = \frac{\partial L}{\partial q}\)를 대입하면 모든 항이 소거되어 0.
E-L 방정식 \(\frac{\partial L}{\partial q_k} - \frac{d}{dt}(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_k}) = 0\) 에서, \(\frac{\partial L}{\partial q_k}=0\) 이므로 \(\frac{d}{dt}(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_k}) = 0\). 따라서 \(p_k = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_k}\)는 상수(보존량)입니다.
1번 유도 과정을 각 \(q_k\) 성분에 대해 독립적으로 적용하면, \(\frac{\partial L}{\partial q_k} - \frac{d}{dt}(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_k}) = 0\) (for \(k=1 \dots n\))을 얻습니다. 이를 벡터로 묶으면 \(\nabla_q L - \frac{d}{dt}\nabla_{\dot{q}} L = 0\).
1번 해설의 부분적분 과정에서 경계항 \(\left[ \frac{\partial L}{\partial \dot{x}}\eta \right]_{t_1}^{t_2}\)이 \(\eta(t_1)=0\)이므로 \(\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}\Big|_{t=t_2} \eta(t_2)\)만 남습니다. \(\delta S = 0\)이 모든 \(\eta(t)\)(심지어 \(\eta(t_2)\neq 0\)인 경우 포함)에 대해 성립해야 하므로, 운동방정식과 더불어 \(\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}\Big|_{t=t_2} = 0\) 라는 ’자연 경계 조건’이 추가로 필요합니다.
\(L' = \frac{1}{2}m(\dot{x}^2+\dot{y}^2) - V(x,y) + \lambda(x^2+y^2-R^2)\). \(x\)좌표: \(\frac{\partial L'}{\partial x} - \frac{d}{dt}(\frac{\partial L'}{\partial \dot{x}}) = 0 \implies -\frac{\partial V}{\partial x} + 2\lambda x - m\ddot{x} = 0\). \(y\)좌표: \(\frac{\partial L'}{\partial y} - \frac{d}{dt}(\frac{\partial L'}{\partial \dot{y}}) = 0 \implies -\frac{\partial V}{\partial y} + 2\lambda y - m\ddot{y} = 0\). \(\lambda\)좌표: \(\frac{\partial L'}{\partial \lambda} - \frac{d}{dt}(\frac{\partial L'}{\partial \dot{\lambda}}) = 0 \implies x^2+y^2-R^2 = 0\) (원래 제약식).
\(e^{iS_A/\hbar} = e^{i 100}\) (위상 100 라디안). \(e^{iS_B/\hbar} = e^{i 100.5} = e^{i 100} e^{i 0.5\pi} = e^{i 100} (i)\). 두 진폭은 위상이 \(0.5\pi\) (즉, 90도) 차이 나므로, 보강도 상쇄도 아닌 중간 상태입니다. 만약 \(S_B = 100.1\hbar\) 였다면 거의 보강 간섭, \(S_B = 100.5\pi \hbar \approx 100.157\hbar\) 였다면 완벽한 상쇄 간섭(\(e^{i\pi}=-1\))입니다. \(\hbar\)가 매우 작으므로 \(S\)가 조금만 달라도 위상이 격렬하게 변하여 상쇄됩니다.
\(L(x+\epsilon\eta) = \frac{1}{2}(\dot{x}+\epsilon\dot{\eta})^2 = \frac{1}{2}(\dot{x}^2 + 2\epsilon\dot{x}\dot{\eta} + \epsilon^2\dot{\eta}^2)\). \(S[x+\epsilon\eta] = \int L dt = S[x] + \epsilon \int \dot{x}\dot{\eta} dt + \frac{\epsilon^2}{2} \int \dot{\eta}^2 dt\). \(\delta S = \int \dot{x}\dot{\eta} dt = 0\) (1차 변분, 자유 입자 해 \(\ddot{x}=0\) 사용). \(\delta^2 S = \frac{1}{2} \int \dot{\eta}^2 dt\). \(\eta(t)\)가 0이 아닌 한, \(\dot{\eta}^2 \ge 0\) 이므로 \(\delta^2 S > 0\) 입니다. 따라서 자유 입자의 경로는 작용을 ’최소화’합니다.