13장. 레게트-가르그 부등식: 시간 속 ’고전적 역사’를 검증하다

우리는 일상에서 달이 우리가 보지 않을 때도 저 하늘에 떠 있다고 믿습니다. 또한, 달을 쳐다보는 행위 자체가 달의 궤도를 바꾸지 않는다고 생각합니다. 이처럼 “세상은 관측과 무관하게 실재하며, 이상적인 측정은 미래를 교란하지 않는다”는 우리의 상식적인 세계관을 거시 실재론(Macrorealism)이라고 부릅니다.

레게트-가르그 부등식(Leggett-Garg Inequality, LGI)은 이 고전적 직관이 수학적으로 만족해야 하는 한계입니다.

하지만 놀랍게도 양자 시스템은 이 부등식을 위반할 수 있습니다. 이는 양자역학의 기묘함이 공간(벨 부등식)뿐만 아니라, 시간(LGI) 속에도 내재되어 있음을 보여줍니다. LGI는 “과연 시스템은 우리가 보지 않을 때도 명확한 ’역사’를 가지고 있는가?”라는 질문에 대한 실험적 답변입니다.

1. 기본 개념 (Fundamental Concepts)

  • 거시 실재론 (Macrorealism, MR): 우리의 고전적 직관을 구성하는 두 가지 핵심 가정입니다.

    1. 관측 독립 실재성 (Macrorealism-per-se): 어떤 물리량(예: 시계추의 위치)은 우리가 측정하든 안 하든, 항상 명확하게 정해진 값(\(+1\) 또는 \(-1\))을 가진다.
    2. 비침입 측정 (Non-Invasive Measurability, NIM): 원리적으로, 그 물리량의 값을 측정한 이후의 시스템 상태를 교란하지 않고도 측정하는 것이 가능하다.

  • 레게트-가르그 부등식 (LGI): 위의 두 가지 고전적 가정이 옳다면, 서로 다른 시간에 측정한 물리량의 상관관계는 특정 수학적 경계(부등식)를 절대 넘어설 수 없다는 정리입니다. 가장 대표적인 형태는 다음과 같습니다. \(K_3 = C_{12} + C_{23} - C_{13} \le 1\)

    • 여기서 \(C_{ij} = \langle Q(t_i) Q(t_j) \rangle\)는 \(t_i\) 시점과 \(t_j\) 시점의 측정값 상관관계입니다.

  • 시간적 비국소성 (Temporal Non-Locality): 양자 시스템이 LGI를 위반하는 현상입니다. 이는 양자 시스템이 고전적 직관과 달리, 명확하게 정해진 ’역사(history)’를 따르지 않거나(MR 위배), 측정 행위가 근본적으로 미래 상태를 교란함(NIM 위배)을 의미합니다. 이는 단일 시스템의 시간적 역사에 대한 ’유령 같은 연결성’을 드러냅니다. ⏰

    💡 LGI와 일관성 역사 (6장)의 연결

    6장에서 배운 ’일관성 역사’는 \(D(\alpha, \beta)=0\)일 때만 역사에 고전적 확률을 부여할 수 있다고 했습니다.

    LGI가 가정하는 ’거시 실재론(MR)’은 “시스템은 \(t_1, t_2, t_3\) 시점에 \((Q_1, Q_2, Q_3)\)라는 값을 이미 가지고 있다”고 주장합니다. 이는 이 8가지(\(2^3\))의 고전적 역사가 모두 일관성을 갖는다는(간섭이 0이라는) 매우 강력한 가정입니다.

    LGI의 위반은, 이 고전적 역사들이 양자역학적으로는 ’일관성’을 갖지 않으며(\(D(\alpha, \beta) \neq 0\)), 따라서 “미리 정해진 역사”라는 개념 자체가 성립하지 않음을 실험적으로 보여주는 것입니다.

  • 서툼의 함정 (Clumsiness Loophole): LGI 위반을 실험할 때 가장 큰 난관입니다. LGI 위반이 관측되었을 때, 이것이 진정한 양자 현상 때문인지, 아니면 우리가 측정을 ‘서투르게’ 해서 시스템을 교란시켰기 때문인지(즉, NIM 가정을 어겼기 때문인지) 구별하기 어렵습니다.

    🍳 상세 설명: 서툼의 함정이란 무엇인가?

    프라이팬 위의 달걀이 ‘노른자가 터지지 않은 상태’(\(Q=+1\))라고 가정해 봅시다.

    1. \(t_1\): 젓가락으로 살짝 눌러보니 안 터졌습니다(\(Q(t_1)=+1\)). (1차 측정)
    2. \(t_2\): 그런데 누르는 행위 때문에 노른자에 금이 갔습니다. (교란 발생)
    3. \(t_3\): 다시 눌러보니 노른자가 터졌습니다(\(Q(t_3)=-1\)).

    이 실험자는 “\(t_1\)에는 \(+1\)이었는데 \(t_3\)에는 \(-1\)이 되었군”이라고 결론 내립니다. 하지만 이 결과는 달걀 자체가 변해서가 아니라, \(t_1\)에서의 ’서툰 측정’이 \(t_3\)의 결과를 오염시켰기 때문입니다. LGI 위반 실험은 이 ’서툰 측정’의 가능성을 배제해야만 진정한 양자성을 입증할 수 있습니다.

  • 함정 회피 전략: 이 서툼의 함정을 피하기 위해, “측정했지만 교란하지 않았음”을 보장하는 영리한 방법들이 고안되었습니다.

    • 이상적 부성 측정 (Ideal Negative Result): 시스템이 \(|+1\rangle\) 상태일 때만 ‘딸깍’ 소리를 내는 검출기를 사용합니다. 만약 아무 소리도 들리지 않았다면, 우리는 시스템이 \(|-1\rangle\) 상태임을 ‘상호작용 없이’ 알게 됩니다.
    • 약한 측정 (Weak Measurement): 시스템을 거의 교란하지 않을 정도로 아주 약하게 측정하고, 대신 통계를 수없이 반복하여 신호를 얻습니다.
    • NSIT (No-Signaling-In-Time): \(t_1\)에서의 측정이 \(t_2\)의 통계에 아무런 영향을 주지 않았음을 별도의 대조 실험을 통해 통계적으로 증명합니다.

2. 기호 및 핵심 관계식

  • 관측량과 상관 함수:
    • 측정값: \(Q(t_k) \in \{+1, -1\}\) (예: 스핀 업/다운)
    • 2-시점 상관 함수: \(C_{ij} = \langle Q(t_i) Q(t_j) \rangle = \sum_{Q_i, Q_j} Q_i Q_j P(Q_i, Q_j)\)
  • LGI 부등식 (K3 형태):
    • 고전적 가정 (MR + NIM) \(\implies\) \(K_3 = C_{12} + C_{23} - C_{13} \le 1\)

    💡 왜 이 부등식이 성립해야 할까? (간단한 증명)

    고전적 가정(MR) 하에서는 세 시점 \(t_1, t_2, t_3\)에 입자가 가진 값 \((Q_1, Q_2, Q_3)\)이 동시에 존재합니다. 각 \(Q_k\)는 \(+1\) 아니면 \(-1\)입니다.

    어떤 조합이든 \((Q_1 Q_2 + Q_2 Q_3 - Q_1 Q_3)\)의 값을 계산해 봅시다. (예: \((+1,+1,+1) \to 1+1-1=1\); \((+1,-1,+1) \to -1-1-1=-3 \le 1\))

    \(Q_2\)로 묶어보면 \(Q_2(Q_1+Q_3) - Q_1 Q_3\)이 됩니다.
    • 만약 \(Q_1=Q_3\)이면 (둘 다 \(+1\)이거나 둘 다 \(-1\)): \(Q_2(\pm 2) - (\pm 1) = \pm 2 Q_2 - 1\). \(Q_2\)가 \(+1\)이든 \(-1\)이든 이 값은 \(1\) 또는 \(-3\)입니다.
    • 만약 \(Q_1 \neq Q_3\)이면 (하나는 \(+1\), 하나는 \(-1\)): \(Q_2(0) - (-1) = 1\).

    즉, 어떤 개별 역사에 대해서도 \(Q_1 Q_2 + Q_2 Q_3 - Q_1 Q_3 \le 1\)이 항상 성립합니다.

    따라서 이 값들을 수없이 평균 낸 \(C_{12} + C_{23} - C_{13}\) 역시 1을 넘을 수 없어야 합니다.

  • 양자적 위반 (Quantum Violation):
    • 양자역학에서는 \(Q(t_1)\)과 \(Q(t_2)\)가 동시에 확정된 값을 갖지 않을 수 있습니다 (MR 위배).
    • 또한 \(Q(t_1)\)의 측정(예: \(\sigma_z\) 측정)이 \(Q(t_2)\)의 상태를 근본적으로 바꿀 수 있습니다 (NIM 위배).
    • 양자 시스템은 \(K_3\)의 최대값으로 1.5 (Lüders Bound)까지 도달할 수 있으며, 이는 고전적 한계 1을 명백히 위반합니다.

3. 손쉬운 예제 (Examples with Deeper Insight)

  • 예제 1: 고전적 시스템 (LGI 만족)
    • 상황: \(+1\)과 \(-1\) 사이를 무작위로 오가는 고전적 마르코프 과정 (예: 동전 던지기 결과가 서서히 잊히는 과정).
    • 상관관계: \(C_{ij} \approx e^{-\gamma|t_i-t_j|}\) (시간이 멀어질수록 상관관계가 지수적으로 감소).
    • 결과: \(K_3 = e^{-\gamma \tau} + e^{-\gamma \tau} - e^{-2\gamma \tau} = 2e^{-\gamma \tau} - e^{-2\gamma \tau}\). (여기서 \(\tau = t_2-t_1 = t_3-t_2\))
    • 해석: \(x = e^{-\gamma \tau}\)라 두면 \(2x - x^2 = 1 - (1-x)^2\) 입니다. \(x\)는 0과 1 사이 값이므로 \((1-x)^2 \ge 0\) 이고, 따라서 \(K_3 \le 1\) 입니다. 고전 시스템은 LGI를 절대 위반하지 않습니다.
  • 예제 2: 양자 큐빗 (LGI 위반)
    • 상황: \(x\)축 방향 자기장 속에서 세차 운동하는 스핀.
      • 해밀토니안: \(H = \frac{\hbar\Omega}{2} \sigma_x\) (스핀이 \(y-z\) 평면에서 \(\Omega\)의 속도로 회전)
      • 관측량: \(Q = \sigma_z\) (스핀의 \(z\)방향 측정)
    • 상관관계: (이상적인 측정을 가정하면) \(t_i\)에 \(\sigma_z\)를 측정한 뒤 \(t_j\)까지 진화시켜 다시 \(\sigma_z\)를 측정한 기대값은 \(C_{ij} = \cos(\Omega(t_j-t_i))\)입니다.
    • 결과: 등간격 \(\tau\)로 측정 시, \(K_3 = \cos(\Omega\tau) + \cos(\Omega\tau) - \cos(2\Omega\tau) = 2\cos(\Omega\tau) - \cos(2\Omega\tau)\).
    • 위반: 만약 \(\Omega\tau = \pi/3\) (\(60^\circ\) 회전)으로 설정하면, \(K_3 = 2\cos(60^\circ) - \cos(120^\circ) = 2(0.5) - (-0.5) = 1 + 0.5 = \mathbf{1.5}\). 이는 고전적 한계 \(1\)을 명백히 위반합니다.
  • 예제 3: 결어긋남의 효과 (양자성이 사라지는 과정)
    • 상황: 예제 2의 큐빗이 주변 환경과 상호작용하여 양자 결맞음을 잃어가는(decoherence) 경우.
    • 상관관계: \(C_{ij} \approx e^{-\Gamma|t_i-t_j|} \cos(\Omega(t_j-t_i))\) (상관관계가 추가로 감쇠).
    • 결과: \(K_3\) 값이 1.5보다 작아집니다. 결어긋남(\(\Gamma\))이 충분히 강해지면 \(K_3\) 값은 1 이하로 떨어져, 시스템은 다시 고전적으로 행동하게 됩니다. 이는 5장(열린 계)과 8장(양자 다윈주의)에서 배운 ’결어긋남’이 어떻게 LGI 위반(양자성)을 억제하고 고전적 실재론을 ’창발’시키는지 보여주는 예입니다.

4. 연습문제

  1. (LGI \(K_3 \le 1\) 증명): 본문 2절의 💡 박스에 설명된 대로, \((Q_1, Q_2, Q_3)\)의 모든 8가지 \((\pm 1, \pm 1, \pm 1)\) 조합에 대해 \(Q_1 Q_2 + Q_2 Q_3 - Q_1 Q_3 \le 1\)임을 직접 확인하십시오.
  2. (양자 큐빗 \(K_3\) 유도): 예제 2의 양자 큐빗 시스템에서 \(C_{12} = \cos(\Omega\tau)\)가 어떻게 유도되는지 하이젠베르크 묘사(연산자 진화)를 이용해 보이십시오. (힌트: \(Q(t) = \sigma_z(t) = e^{iHt/\hbar} \sigma_z(0) e^{-iHt/\hbar}\) 를 계산해야 합니다.)
  3. (최대 위반 찾기): \(K_3(\tau) = 2\cos(\Omega\tau) - \cos(2\Omega\tau)\)를 \(\tau\)에 대해 미분하여, \(K_3\)가 최대가 되는 조건이 \(\Omega\tau = \pi/3\)임을 보이십시오.
  4. (\(K_4\) 부등식): 네 시점 \(t_1 < t_2 < t_3 < t_4\)에 대해, 고전적 가정(MR+NIM) 하에서 \(K_4 = C_{12} + C_{23} + C_{34} - C_{14} \le 2\)가 성립함을 증명하십시오.
  5. (NSIT 프로토콜 설계): \(t_2\)에서의 측정값 통계 \(P(Q_2)\)를 얻는 실험 프로토콜과, \(t_1\)에서 측정을 ‘수행한 후’ \(t_2\)에서 측정값 통계 \(P'(Q_2)\)를 얻는 프로토콜을 비교하는 NSIT 테스트를 어떻게 설계할 수 있을지 설명하십시오.

5. 해설

  1. (예) \(Q_1=1, Q_2=-1, Q_3=-1\) 이면 \(Q_1Q_2 + Q_2Q_3 - Q_1Q_3 = (1)(-1) + (-1)(-1) - (1)(-1) = -1 + 1 + 1 = 1 \le 1\). 다른 7가지 경우도 모두 1 또는 -1이 나옵니다.
  2. (하이젠베르크 묘사) \(H=\frac{\hbar\Omega}{2}\sigma_x\). 지수함수 \(e^{i\frac{\Omega t}{2}\sigma_x} = \cos(\frac{\Omega t}{2})\mathbf{1} + i\sin(\frac{\Omega t}{2})\sigma_x\). \(\sigma_z(t) = e^{iHt/\hbar} \sigma_z(0) e^{-iHt/\hbar} = (\cos + i\sin\sigma_x) \sigma_z (\cos - i\sin\sigma_x)\) \(= (\cos\sigma_z - i\sin\sigma_z\sigma_x) (\cos - i\sin\sigma_x) = (\cos\sigma_z + \sin\sigma_y) (\cos - i\sin\sigma_x)\) \(= \cos^2\sigma_z + \sin\cos\sigma_y - i\cos\sin\sigma_z\sigma_x - i\sin^2\sigma_y\sigma_x\) \(= \cos^2\sigma_z + \sin\cos\sigma_y - i\sin\cos(i\sigma_y) - \sin^2(-i\sigma_z) = \cos^2\sigma_z + 2\sin\cos\sigma_y + \sin^2\sigma_z = \cos(2\frac{\Omega t}{2})\sigma_z + \sin(2\frac{\Omega t}{2})\sigma_y = \cos(\Omega t)\sigma_z + \sin(\Omega t)\sigma_y\). \(C_{12} = \langle \sigma_z(\tau) \sigma_z(0) \rangle = \langle (\cos(\Omega\tau)\sigma_z + \sin(\Omega\tau)\sigma_y) \sigma_z \rangle = \cos(\Omega\tau) \langle \sigma_z^2 \rangle + \sin(\Omega\tau) \langle \sigma_y \sigma_z \rangle\). \(\langle \sigma_z^2 \rangle = \langle \mathbf{1} \rangle = 1\) 이고, (초기 상태 \(\rho_0\)가 \(z\)축에 대해 대칭이라고 가정하면) \(\langle \sigma_y \sigma_z \rangle = \langle i\sigma_x \rangle = 0\) 입니다. 따라서 \(C_{12} = \cos(\Omega\tau)\). \(C_{13}\)도 \(\tau \to 2\tau\)로 바꾸면 동일합니다.
  3. \(dK_3/d\tau = -2\Omega\sin(\Omega\tau) + 2\Omega\sin(2\Omega\tau) = 0\). \(\sin(2\Omega\tau) = \sin(\Omega\tau) \implies 2\sin(\Omega\tau)\cos(\Omega\tau) = \sin(\Omega\tau)\). \(\sin(\Omega\tau)=0\) (극소) 또는 \(\cos(\Omega\tau)=1/2\). \(\cos(\Omega\tau)=1/2\) 일 때 \(\Omega\tau = \pi/3\) 이고, 이때 \(K_3=1.5\)로 최대가 됩니다.
  4. \(K_4 = Q_1Q_2 + Q_2Q_3 + Q_3Q_4 - Q_1Q_4\). \(Q_2(Q_1+Q_3) + Q_4(Q_3-Q_1)\)로 묶을 수 있습니다. 가능한 모든 조합(16가지)을 확인하면 최댓값은 2입니다. (예: \(1,1,1,-1 \to 1+1-1-(-1)=2\)).
  5. (프로토콜 A) 많은 수의 동일한 시스템을 준비하여 \(t_2\)에만 측정을 수행, \(P(Q_2)\)를 얻습니다. (프로토콜 B) 동일한 시스템을 준비하여 \(t_1\)에 측정을 ‘수행하고’ (결과를 기록하든 안 하든), \(t_2\)에도 측정을 수행하여 \(P'(Q_2)\)를 얻습니다. 만약 \(P(Q_2)\)와 \(P'(Q_2)\)가 통계적으로 유의미한 차이를 보인다면, \(t_1\)의 측정이 \(t_2\)의 통계를 교란했다는 뜻이므로 NSIT가 실패한(즉, 서툼의 함정이 닫히지 않은) 것입니다.