3장. 대칭, 군(Group), 그리고 생성자 (Generators)
1장과 2장에서 우리는 힐베르트 공간이라는 정적인 ‘무대’와 그 위에서 정의되는 ’상태’ 및 ’연산자’를 배웠습니다. 이제 2부의 ’동역학’으로 나아가기 위해, 이 무대 위에서 ’변화’와 ’운동’을 일으키는 원리를 탐구해야 합니다. 그 핵심 열쇠는 바로 대칭(Symmetry)입니다.
양자역학에서 대칭은 단순한 기하학적 아름다움을 넘어, 시스템의 동역학을 결정하고 물리 법칙을 지배하는 근본적인 원리입니다. 대칭 변환은 수학적으로 군(Group)이라는 구조를 따르며, 이 ’군’을 만들어내는 핵심 엔진, 즉 ’무한히 작은 변화’를 일으키는 명령어가 바로 생성자(Generator)입니다.
1. 기본 개념 (Fundamental Concepts)
- 대칭 (Symmetry): 어떤 변환을 시스템에 가했을 때, 시스템의 물리적 속성(특히, 측정 확률)이 변하지 않는 것을 의미합니다. 위그너의 정리에 따르면, 이러한 대칭 변환은 반드시 유니터리(Unitary) 연산자 \(U\) (또는 반(anti)-유니터리)로 표현되어야 합니다.
- \(|\psi'\rangle = U|\psi\rangle\)로 변환되었을 때, \(\langle\phi'|\psi'\rangle = \langle\phi|\psi\rangle\) (내적 보존).
상세 설명: ⟨ϕ’|ψ’⟩ = ⟨ϕ|ψ⟩는 왜 필요한가?
’측정 확률’은 항상 두 상태 사이의 관계, 즉 “시스템의 현재 상태 \(|\psi\rangle\)”와 “측정하려는 목표(질문) 상태 \(|\phi\rangle\)” 사이의 내적으로 결정됩니다. (확률 \(P = |\langle\phi|\psi\rangle|^2\))
대칭 변환 \(U\)는 실험실 전체에 적용되어야 하므로, 시스템뿐만 아니라 측정 장치(목표 상태)도 동일하게 변환되어야 합니다.
- 변환된 시스템: \(|\psi'\rangle = U|\psi\rangle\)
- 변환된 목표 상태: \(|\phi'\rangle = U|\phi\rangle\)
“대칭”이란 이 변환 후에도 물리적 결과(확률)가 동일해야 함을 의미합니다. \(U\)가 유니터리(\(U^\dagger U = \mathbf{1}\))이기 때문에 이 보존이 수학적으로 보장됩니다.
\(\langle\phi'|\psi'\rangle = (U|\phi\rangle)^\dagger (U|\psi\rangle) = (\langle\phi| U^\dagger) (U|\psi\rangle) = \langle\phi| (U^\dagger U) |\psi\rangle = \langle\phi| \mathbf{1} |\psi\rangle = \langle\phi|\psi\rangle\).
따라서 \(U\) 변환은 두 상태 사이의 근본적인 내적(확률 진폭)을 보존하며, 이것이 대칭의 수학적 정의입니다.
- 군 (Group): 대칭 변환들의 집합입니다. 이 집합은 ‘변환을 연속으로 적용’(곱셈), ‘변환 안 하기’(항등원), ‘변환 거꾸로 하기’(역원) 등의 연산에 대해 닫혀있습니다.
- 시간 이동, 공간 이동, 회전과 같이 연속적인 변환을 다루는 군을 리 군(Lie Group)이라고 부릅니다.
상세 설명: 리 군(Lie Group) - 수학의 도구에서 물리학의 언어로
1. 수학적 동기 (소푸스 리, Sophus Lie)
리 군은 물리학(시간, 공간 대칭)을 목적으로 탄생한 것이 아닙니다. 19세기 말, 노르웨이의 수학자 소푸스 리는 “미분 방정식(Differential Equations)”을 체계적으로 풀 수 있는 일반적인 이론을 개발하는 것을 목표로 했습니다.
그의 아이디어는 갈루아(Galois)가 ‘대수 방정식’(예: 5차 방정식)의 근을 ‘이산적 대칭군’(finite group)을 이용해 분석한 것에 영감을 받았습니다. 리(Lie)는 이와 유사하게, 미분 방정식의 해(solution)가 갖는 ‘연속적 대칭군’(continuous group)을 연구하면 방정식의 구조를 이해하고 해를 찾을 수 있으리라 생각했습니다.
리 군은 ‘연속적인(smooth)’ 변환들의 집합이면서, 동시에 그 자체가 ‘매끄러운 다양체(differentiable manifold)’라는 기하학적 공간을 이루는 매우 특별한 수학적 구조입니다. 리(Lie)의 핵심 업적은 이 연속적인 군의 국소적(local) 구조가 ’무한소 변환’(infinitesimal transformation)에 의해 완전히 결정된다는 것을 밝힌 것이며, 이 무한소 변환들의 대수적 구조가 바로 리 대수(Lie Algebra)입니다. (본문 3장의 ’생성자’가 바로 이 리 대수의 원소에 해당합니다.)
2. 물리학의 차용 (Why Physics Needs Lie Groups)
20세기 초, 물리학자들은 (특히 아인슈타인과 뇌터 이후) 자연의 근본 법칙이 대칭성과 불가분의 관계에 있음을 깨달았습니다. 그리고 물리학이 다루는 가장 근본적인 대칭(Symmetry)은 대부분 연속적입니다.
- 시간 대칭: 물리 법칙은 ’지금’과 ’1초 뒤’가 동일합니다. (연속적 시간 이동)
- 공간 대칭: 물리 법칙은 ’여기’와 ’1m 옆’이 동일합니다. (연속적 공간 이동)
- 회전 대칭: 물리 법칙은 ’이쪽’을 보나 ’저쪽’을 보나 동일합니다. (연속적 회전)
물리학자들은 자신들이 다루는 이 연속적인 대칭(시간 이동, 공간 이동, 회전)을 기술할 완벽한 수학적 도구가, 이미 소푸스 리에 의해 19세기 말에 순수 수학의 목적으로 완성되었음을 발견했습니다.
뇌터의 정리는 이 둘을 완벽히 연결했습니다. “물리학의 연속적 대칭성(리 군, Lie Group)”은 “그에 해당하는 보존 법칙(리 대수/생성자, Lie Algebra)”을 낳습니다.
이후 리 군은 특수 상대성 이론(로렌츠 군 \(SO(1,3)\)), 양자역학의 스핀(회전군 \(SO(3)\)와 \(SU(2)\)), 그리고 현대 입자물리학의 표준 모형(게이지 군 \(U(1) \times SU(2) \times SU(3)\))을 기술하는 핵심 언어가 되었습니다.
- 생성자 (Generator): 연속적인 대칭 변환(리 군)을 만들어내는 ‘씨앗’ 또는 ’엔진’에 해당하는 헤르미트 연산자입니다.
- 시간 이동(\(t\))의 생성자는 해밀토니안(\(H\))입니다.
- 공간 이동(\(x\))의 생성자는 운동량 연산자(\(P_x\))입니다.
- \(z\)축 회전(\(\theta\))의 생성자는 \(z\)축 각운동량 연산자(\(J_z\))입니다.
- 뇌터의 정리 (Noether’s Theorem, 양자 버전): 고전 역학과 마찬가지로, 양자역학에서도 대칭성과 보존 법칙은 깊게 연결됩니다.
- “시스템의 동역학(해밀토니안 \(H\))이 어떤 연속적인 대칭성(\(U\))을 갖는다면, 그 대칭성에 해당하는 생성자(\(G\))는 보존되는 물리량(conserved quantity)이다.”
상세 설명: 왜 대칭성이 보존을 보장하는가? (수학적 증명)
뇌터의 정리는 “대칭성”과 “보존”이라는 두 물리적 개념을 수학적 언어로 번역했을 때, 두 식이 사실상 동일한 방정식임을 보여줍니다.
1. “대칭성”의 수학적 의미: \([H, G] = 0\)
- 어떤 변환 \(U(\epsilon) = e^{-iG\epsilon/\hbar}\) (여기서 \(\epsilon\)은 변환의 양, \(G\)는 생성자)에 대해 시스템이 대칭이라는 것은, 그 변환을 가해도 해밀토니안 \(H\)가 변하지 않는다는 의미입니다.
- 즉, 변환된 해밀토니안 \(U(\epsilon)HU(\epsilon)^\dagger\)가 원래 \(H\)와 같아야 합니다: \(H = U(\epsilon)HU(\epsilon)^\dagger\).
- 양변에 \(U(\epsilon)\)을 곱하면 \(HU(\epsilon) = U(\epsilon)H\) 이며, 이는 \(H\)와 \(U(\epsilon)\)가 교환(commute)한다는 뜻입니다: \([H, U(\epsilon)] = 0\).
- 이것이 모든 \(\epsilon\)에 대해 성립해야 하므로, (특히 무한히 작은 \(\epsilon\)에 대해) \(H\)는 반드시 그 생성자(Generator) \(G\)와도 교환해야 합니다.
- 대칭성의 조건 (수학): \([H, G] = 0\)
2. “보존”의 수학적 의미: \(\frac{d}{dt}\langle G \rangle = 0\)
- 어떤 물리량 \(G\)가 보존된다는 것은, 그 기대값(측정 평균) \(\langle G \rangle\)가 시간에 따라 변하지 않음을 의미합니다: \(\frac{d}{dt}\langle G \rangle = 0\).
- 하이젠베르크 운동 방정식(또는 에렌페스트 정리)에 따르면, \(G\) 자체가 시간에 따라 변하지 않을 때(\(\partial G/\partial t = 0\)), 기대값의 시간 변화율은 다음과 같이 \(H\)와의 교환자(commutator)로 주어집니다.
- 보존의 조건 (수학): \(\frac{d}{dt}\langle G \rangle = \frac{1}{i\hbar}\langle [G, H] \rangle\)
3. 두 개념의 연결: \([H, G] = 0 \iff \frac{d}{dt}\langle G \rangle = 0\)
이제 위 두 식을 연결하면 뇌터의 정리가 완성됩니다.
- 1단계 (대칭 가정): 시스템이 \(G\)에 의해 생성되는 대칭성을 갖는다고 가정합시다. 수학적으로 이는 \([H, G] = 0\)을 의미합니다.
- 2단계 (보존 증명): 물리량 \(G\)가 보존되는지 확인해 봅시다. \(\frac{d}{dt}\langle G \rangle = \frac{1}{i\hbar}\langle [G, H] \rangle\)
- 그런데 1단계의 가정에서 \([H, G] = 0\) 이므로, \([G, H] = -[H, G] = 0\) 입니다.
- 이를 대입하면, \(\frac{d}{dt}\langle G \rangle = \frac{1}{i\hbar}\langle 0 \rangle = 0\) 이 됩니다.
결론: \(H\)가 \(G\)와 교환한다는 ’대칭성’이, \(G\)의 기대값이 시간에 따라 변하지 않는다는 ’보존’을 수학적으로 필연적으로 이끌어냅니다.
💡 구체적인 예시
공간 이동 대칭 \(\implies\) 운동량 보존 만약 시스템이 공간적으로 균일하다면 (모든 위치가 동등하다면), 대칭성(Symmetry)은 공간 이동(Translation)입니다. 이 대칭의 생성자(Generator)는 운동량 연산자(\(P_x\))입니다. 뇌터의 정리: \([H, P_x]=0\) 이므로 \(\frac{d}{dt}\langle P_x \rangle = 0\) 입니다. (운동량 보존)
회전 대칭 \(\implies\) 각운동량 보존 만약 시스템이 공간적으로 등방적(isotropic)이라면 (모든 방향이 동등하다면), 대칭성(Symmetry)은 회전(Rotation)입니다. 이 대칭의 생성자(Generator)는 각운동량 연산자(\(J_z\))입니다. 뇌터의 정리: \([H, J_z]=0\) 이므로 \(\frac{d}{dt}\langle J_z \rangle = 0\) 입니다. (각운동량 보존)
시간 이동 대칭 \(\implies\) 에너지 보존 만약 시스템이 시간적으로 균일하다면 (물리 법칙이 시간에 따라 변하지 않는다면), 대칭성(Symmetry)은 시간 이동(Time Translation)입니다. 이 대칭의 생성자(Generator)는 해밀토니안(\(H\)) 그 자신입니다. 뇌터의 정리: \([H, H]=0\) 이므로 \(\frac{d}{dt}\langle H \rangle = 0\) 입니다. (에너지 보존)
💡 왜 ’연산자’가 아니라 ’생성자(Generator)’라고 부를까요?
이것은 양자역학의 동역학을 바라보는 매우 심오하고 추상적인 관점입니다. “생성자”라는 이름은 이 연산자가 ‘무한소(infinitesimal) 변환’을 일으키는 주체이기 때문에 붙여졌습니다.
’변화율’로서의 생성자: \(H\)(해밀토니안)을 생각해 봅시다. \(H\)가 “시간 이동의 생성자”라는 말은, \(H\)가 시간 \(t\)가 0인 지점에서 시스템 상태가 ‘어떤 방향으로 출발(변화)’하는지를 결정하는 ‘속도 벡터’ 또는 ’변화율’이라는 뜻입니다. \(G = i\hbar \frac{dU}{dt}\Big|_{t=0}\)
’무한소 단계’의 레시피: 아주 짧은 시간 \(dt\) 동안의 변환 연산자 \(U(dt)\)는 항등 연산(\(\mathbf{1}\))에서 아주 살짝 벗어난 것입니다. \(U(dt) \approx \mathbf{1} - \frac{i}{\hbar} H dt\) 여기서 \(H\)는 이 ’무한히 작은 한 걸음’의 방향과 크기를 결정하는 레시피입니다.
’생성(Generating)’의 의미 (복리(Compounding)로서의 지수함수): 그렇다면 유한한 시간 \(t\) 만큼의 변환 \(U(t)\)는 어떻게 얻을까요? 바로 이 ‘무한히 작은 한 걸음’ \(U(dt)\)을 \(N\)번(단, \(t=N \cdot dt\)) 반복해서 곱하는 것(compounding)입니다.
\(U(dt)\)는 상태 벡터에 작용하는 행렬(연산자)이므로, 변환을 연속으로 적용하는 것은 함수의 합성이 아니라 행렬 곱셈(matrix multiplication)에 해당합니다.
- 시간 \(dt\) 후: \(|\psi(dt)\rangle = U(dt)|\psi(0)\rangle\)
- 시간 \(2dt\) 후: \(|\psi(2dt)\rangle = U(dt)|\psi(dt)\rangle = \big(U(dt) \cdot U(dt)\big)|\psi(0)\rangle\)
따라서 \(t=N\cdot dt\) 시점의 총 변환 연산자는 연산자의 거듭제곱(matrix power)으로 표현됩니다. \(U(t) = (U(dt))^N = \left(\mathbf{1} - \frac{i}{\hbar} H \frac{t}{N}\right)^N \quad (\text{as } N \to \infty)\)
이 극한은 스칼라 \(x\)에 대한 지수함수의 정의 \(e^x = \lim_{N\to\infty} (1+x/N)^N\)를 행렬(연산자)로 일반화한 것입니다.
수학에서 행렬 지수함수(Matrix Exponential) \(e^A\)는 스칼라 지수함수의 테일러 급수 전개와 동일한 형태로 정의됩니다. \(A = \frac{-iHt}{\hbar}\) 라고 두면, \[ e^A \equiv \sum_{k=0}^{\infty} \frac{A^k}{k!} = \mathbf{1} + A + \frac{A^2}{2!} + \frac{A^3}{3!} + \cdots \] 위의 극한 \(\lim_{N \to \infty} (\mathbf{1} + A/N)^N\)은 정확히 이 테일러 급수 \(e^A\)로 수렴합니다.
따라서 유한한 변환 \(U(t)\)는 다음과 같이 생성자의 지수함수로 완벽하게 표현됩니다. \[ U(t) = e^{-iHt/\hbar} \]
즉, 생성자 \(H\)라는 단 하나의 연산자가, 지수 함수라는 연산(무한히 작은 변환을 복리처럼 반복 적용)을 통해 시간 이동이라는 ‘군(Group)’ 전체(\(U(t)\)의 모든 \(t\) 값)를 ‘생성(generate)’해내는 것입니다.
이 관점은 해밀토니안, 운동량, 각운동량 연산자를 “어떤 물리량”으로만 보던 1차원적 시각에서 벗어나, “특정 대칭 변환(이동, 회전)을 일으키는 근본적인 엔진”이라는 훨씬 더 강력하고 추상적인 시각을 제공합니다.
2. 기호 및 핵심 관계식
- 대칭 변환 (Symmetry):
- 대칭 변환은 시스템의 모든 측정 확률(즉, 힐베르트 공간의 내적)을 보존하는 변환입니다.
- 위그너의 정리 (Wigner’s Theorem): 이러한 확률 보존 변환은 반드시 유니터리(Unitary) 연산자 \(U\) (\(U^\dagger U = \mathbf{1}\)) 또는 반-유니터리(Anti-Unitary) 연산자(예: 시간 역전)로 표현되어야 합니다. (물리학의 연속적 변환은 대부분 유니터리입니다.)
- 상태 변환: \(|\psi'\rangle = U |\psi\rangle\)
- 연산자 변환 (하이젠베르크): \(A' = U A U^\dagger\)
- 1-매개변수 리 군 (1-Parameter Lie Group):
- 시간 \(t\)나 각도 \(\theta\)와 같은 연속적인 실수 매개변수 \(\lambda\)에 의존하는 유니터리 변환의 족(family) \(U(\lambda)\)를 의미합니다.
- 모든 1-매개변수 리 군은 어떤 헤르미트 연산자 \(G\) (생성자)를 이용해 지수 함수(Exponential Map) 형태로 표현됩니다. \[ U(\lambda) = e^{-iG\lambda/\hbar} = \exp\left(-\frac{iG\lambda}{\hbar}\right) \]
- (\(\hbar\)는 \(G\)와 \(\lambda\)의 단위를 물리적으로 맞추기 위한 상수이며, 수학적 정의에서는 \(\hbar=1\)로 두기도 합니다.)
💡 심층 탐구: 왜 \(G\)는 반드시 헤르미트(Hermitian)여야 하는가?
\(U\)가 유니터리 연산자(\(U^\dagger = U^{-1}\))라는 조건은 \(G\)가 헤르미트 연산자(\(G=G^\dagger\))라는 조건과 동치입니다.
- \(U\)의 에르미트 켤레: \(U(\lambda)^\dagger = \left(e^{-iG\lambda/\hbar}\right)^\dagger = \left(\sum_k \frac{1}{k!}\left(\frac{-iG\lambda}{\hbar}\right)^k\right)^\dagger = \sum_k \frac{1}{k!}\left(\frac{+iG^\dagger\lambda}{\hbar}\right)^k = e^{+iG^\dagger\lambda/\hbar}\)
- \(U\)의 역원: \(U(\lambda)^{-1} = \left(e^{-iG\lambda/\hbar}\right)^{-1} = e^{+iG\lambda/\hbar}\)
- \(U^\dagger = U^{-1}\) 조건으로부터: \(e^{+iG^\dagger\lambda/\hbar} = e^{+iG\lambda/\hbar}\)
- 이 식이 모든 \(\lambda\)에 대해 성립해야 하므로, 지수에 있는 연산자가 같아야 합니다. \(G = G^\dagger\) (즉, \(G\)는 헤르미트 연산자입니다.)
이는 물리적으로 “대칭 변환(Unitary)의 생성자(Generator)는 물리적 관측가능량(Hermitian)이다”라는 중요한 사실을 의미합니다.
- 생성자와 무한소 변환:
- \(\lambda \to d\lambda\) (아주 작은 값)일 때, 지수함수의 테일러 전개 1차 근사는 다음과 같습니다. \[ U(d\lambda) \approx \mathbf{1} - \frac{i}{\hbar}G\,d\lambda \]
- 역으로, 생성자 \(G\)는 \(U(\lambda)\)의 \(\lambda=0\)에서의 ’변화율’로 정의됩니다. \[ G = i\hbar \frac{dU(\lambda)}{d\lambda}\Big|_{\lambda=0} \]
- 대칭과 보존 법칙 (뇌터의 정리):
- “대칭성”의 정의: 어떤 변환 \(U\)가 시스템의 동역학(해밀토니안 \(H\))에 대한 대칭이라는 것은, 변환된 해밀토니안 \(H' = U H U^\dagger\)가 원래 \(H\)와 같다는 의미입니다. \(U H U^\dagger = H \implies UH = HU \implies [U, H] = 0\).
- 생성자와의 연결: \(U = e^{-iG\lambda/\hbar}\)가 \(H\)와 교환(\([U,H]=0\))한다는 것은, \(H\)가 \(U\)를 만드는 모든 ’부품’과도 교환한다는 뜻입니다. (지수함수 전개를 생각하면 \(H\)가 \(G\) 및 \(G^n\)의 모든 거듭제곱과 교환함을 의미합니다.) 따라서 \([U, H] = 0 \iff [G, H] = 0\).
- “보존”의 정의: 어떤 물리량 \(G\)가 보존된다는 것은, 그 기대값 \(\langle G \rangle\)가 시간에 따라 변하지 않음을 의미합니다 (\(\frac{d}{dt}\langle G \rangle = 0\)).
- 에렌페스트 정리 (Ehrenfest’s Theorem): (연산자 \(G\)가 시간에 무관할 때) \(G\)의 기대값의 시간 변화율은 다음과 같이 \(H\)와의 교환자로 주어집니다. \[ \frac{d}{dt}\langle G \rangle = \frac{1}{i\hbar}\langle [G, H] \rangle \]
- 뇌터의 정리 (증명):
- 시스템이 \(G\)에 의해 생성되는 대칭성을 갖는다고 가정 \(\implies [G, H] = 0\).
- 이것을 에렌페스트 정리에 대입 \(\implies \frac{d}{dt}\langle G \rangle = \frac{1}{i\hbar}\langle 0 \rangle = 0\).
- 결론: \(G\)에 대한 대칭성은 \(G\)가 보존량임을 필연적으로 보장합니다.
- 리 대수 (Lie Algebra):
- 시스템이 둘 이상의 연속 대칭성(예: 3차원 회전)을 가질 때, 생성자들의 집합 \(\{G_i\}\)은 리 대수(\(\mathfrak{g}\))라는 특별한 대수 구조를 형성합니다.
- 이 대수의 핵심은 교환 관계(Commutation Relation)입니다. 두 생성자의 교환자는 다시 생성자들의 선형 결합으로 ‘닫혀’ 있어야 합니다. \[ [G_i, G_j] = i\hbar \sum_k f_{ijk} G_k \]
- 여기서 \(f_{ijk}\)는 그 군의 구조를 정의하는 실수 상수이며 구조 상수(structure constants)라고 부릅니다.
- 예 (회전군 \(SO(3)\)의 리 대수 \(\mathfrak{so}(3)\)): 3차원 회전의 생성자인 각운동량 연산자 \(\{J_x, J_y, J_z\}\)는 다음의 리 대수를 만족합니다. \[ [J_x, J_y] = i\hbar J_z \quad (\text{및 순환 순열}) \]
- 이 교환 관계 자체가 ’군’의 국소적인(무한소 변환) 구조를 정의하며, \(SU(2)\)(스핀)와 같은 더 추상적인 대칭 군을 다루는 기초가 됩니다.
3. 손쉬운 예제 (Examples with Deeper Insight)
여기서는 먼저 ’군’의 개념 자체에 익숙해지기 위해 원소의 개수가 유한하거나 셀 수 있는 이산 군(Discrete Group)을 살펴보고, 이어서 뇌터의 정리와 직접 연결되는 연속 군(Lie Group)의 핵심 예제들을 상세히 분석합니다.
3.1. 기본 예제 (1): 이산 군 (Discrete Groups)
🧐 이산 군은 ‘연속적인’ 매개변수(\(\lambda\))가 없는 군입니다. 이 예제들은 ’비가환성(Non-Abelian)’과 같은 군의 핵심 속성을 이해하는 데 도움을 줍니다.
- 예제 1: \(Z_n\) - “시계” 군 (순환 군, Cyclic Group)
- 물리적 상황: 정사각 격자의 90° 회전 대칭.
- 군 (Group): \(Z_4 = \{0, 1, 2, 3\}\). (원소 4개)
- 연산 (Operation): 모듈러 4 덧셈 (예: \(2+3 = 5 \equiv 1 \pmod 4\)).
- 항등원 (Identity): 0 (0만큼 회전 = 안 함).
- 역원 (Inverse): 1(90°)의 역원은 3(270°)입니다. (\(1+3=4\equiv 0\)).
- 특징: \(a+b = b+a\)가 항상 성립하므로 아벨 군(Abelian Group)입니다. 이는 \(U(1)\)과 같은 연속 군의 이산적 버전으로 생각할 수 있습니다.
- 예제 2: \(S_3\) - “세 개 물체 바꾸기” 군 (치환 군, Permutation Group)
- 물리적 상황: 동일한 입자 3개의 위치를 서로 바꾸는 변환.
- 군 (Group): 3개의 원소 \(\{1, 2, 3\}\)을 섞는 모든 \(3! = 6\)가지 방법의 집합.
- 연산 (Operation): 변환의 연속 적용 (함수의 합성).
- 핵심 특징 (비가환성): 연산 순서가 중요합니다.
- \(a = (1 \leftrightarrow 2)\) : 1번과 2번을 교환.
- \(b = (1 \to 2, 2 \to 3, 3 \to 1)\) : 순환.
- \(a \cdot b\) (b를 먼저 하고 a를 함): \((1 \to 2 \to 1)\), \((2 \to 3 \to 3)\), \((3 \to 1 \to 2)\). 결과: \((2 \leftrightarrow 3)\).
- \(b \cdot a\) (a를 먼저 하고 b를 함): \((1 \to 2 \to 3)\), \((2 \to 1 \to 2)\), \((3 \to 3 \to 1)\). 결과: \((1 \leftrightarrow 3)\).
- 결론: \(a \cdot b \neq b \cdot a\) 이므로, \(S_3\)는 비아벨 군(Non-Abelian Group)입니다.
- 물리학적 의미: 이는 \(SU(2)\)(회전 군)와 같이, 양자역학에서 대부분의 중요한 대칭성이 비가환적임을 보여주는 간단한 모델입니다. 비가환성은 교환자 \([A, B] \neq 0\) 와 불확정성 원리의 근원이 됩니다.
3.2. 핵심 예제 (2): 리 군 (Lie Groups)과 뇌터의 정리
🧐 연속적인 대칭(리 군)이 어떻게 물리적 보존 법칙(생성자)으로 연결되는지 구체적인 양자수학 예제와 함께 살펴봅니다.
- 예제 3: \(U(1)\) - 시간 이동 (Time Translation)
- 대칭 (Symmetry): 물리 법칙은 오늘과 내일이 같다 (시간의 균일성).
- 군 (Group): \(U(1)\), 시간 \(t\) 만큼 진화시키는 변환 \(U(t)\).
- 생성자 (Generator): \(G = H\) (해밀토니안).
- 군 표현 (Representation): \(U(t) = e^{-iHt/\hbar}\) (시간 진화 연산자).
- 뇌터의 정리:
- “대칭”이란 \(H\)가 시간에 따라 변하지 않음(\(\partial H/\partial t=0\))을 의미합니다.
- 에렌페스트 정리에 따르면, \(\frac{d}{dt}\langle H \rangle = \frac{1}{i\hbar}\langle [H, H] \rangle + \langle \frac{\partial H}{\partial t} \rangle\).
- \([H, H]=0\)이고 \(\partial H/\partial t=0\) 이므로, \(\frac{d}{dt}\langle H \rangle = 0\) 입니다.
- 보존량: \(H\), 즉 에너지(Energy).
- 예제 4: \(U(1)\) - 공간 이동 (Spatial Translation)
- 대칭 (Symmetry): 물리 법칙은 여기와 저기(예: \(a\)만큼 이동)가 같다 (공간의 균일성). 이는 퍼텐셜 \(V(x)\)가 상수인 “자유 공간”에 해당합니다.
- 군 (Group): \(U(1)\), 거리 \(a\) 만큼 이동시키는 변환 \(T(a)\).
- 생성자 (Generator): \(G = P_x\) (x축 운동량 연산자). \(P_x = -i\hbar\frac{\partial}{\partial x}\).
- 군 표현 (Representation): \(T(a) = e^{-iP_x a/\hbar}\). (이 연산자는 파동함수를 \(\psi(x) \to \psi(x-a)\)로 이동시킵니다.)
- 뇌터의 정리: “대칭”이란 \(H\)가 \(P_x\)와 교환함(\([H, P_x] = 0\))을 의미합니다.
- 보존량: \(P_x\), 즉 운동량(Momentum).
- 양자수학 예제:
- 보존되는 경우 (대칭성 O): 자유 입자 \(H = \frac{P_x^2}{2m}\). \([H, P_x] = \left[\frac{P_x^2}{2m}, P_x\right] = \frac{1}{2m}[P_x^2, P_x] = 0\). (연산자는 자신과 항상 교환함). \(\implies\) 대칭성이 존재하므로 운동량이 보존됩니다.
- 보존 안 되는 경우 (대칭성 X): 조화 진동자 \(H = \frac{P_x^2}{2m} + \frac{1}{2}m\omega^2 X^2\). \([H, P_x] = \left[\frac{1}{2}m\omega^2 X^2, P_x\right] = \frac{1}{2}m\omega^2 [X^2, P_x]\). \([X^2, P_x] = X[X, P_x] + [X, P_x]X = X(i\hbar) + (i\hbar)X = 2i\hbar X \neq 0\). \(\implies\) 대칭성이 깨졌으므로(퍼텐셜이 위치 \(X\)에 의존) 운동량은 보존되지 않습니다. (입자가 용수철에 의해 되튕깁니다.)
- 예제 5: \(SU(2)\) / \(SO(3)\) - 회전 (Rotation)
- 대칭 (Symmetry): 물리 법칙은 어떤 방향으로 회전해도 같다 (공간의 등방성). 이는 퍼텐셜이 방향이 아닌 거리에만 의존하는 \(V(r)\) (중심력) 상황에 해당합니다.
- 군 (Group): \(SU(2)\) (스핀 1/2) 또는 \(SO(3)\) (3D 공간 회전).
- 생성자 (Generator): \(G = \{J_x, J_y, J_z\}\) (3개의 각운동량 연산자).
- 군 표현 (Representation): \(R_z(\theta) = e^{-iJ_z \theta/\hbar}\) (Z축 기준 \(\theta\) 회전).
- 뇌터의 정리: “대칭”이란 \(H\)가 모든 생성자와 교환함(\([H, J_x]=[H, J_y]=[H, J_z]=0\), 또는 간단히 \([H, \vec{J}]=0\))을 의미합니다.
- 보존량: \(\vec{J}\), 즉 각운동량(Angular Momentum).
- 양자수학 예제 (비가환성):
- 회전 군은 예제 2의 \(S_3\)처럼 비아벨 군(Non-Abelian)입니다. (X축 회전 후 Y축 회전 \(\neq\) Y축 회전 후 X축 회전).
- 이는 생성자들이 서로 교환하지 않음으로 나타납니다. \[ [J_x, J_y] = i\hbar J_z \neq 0 \]
- 물리적 의미:
- \(J_x\)와 \(J_y\)는 동시에 정확히 측정될 수 없습니다 (불확정성 원리).
- 만약 시스템이 회전 대칭을 가져서 \([H, \vec{J}]=0\)이더라도, \(J_z\)를 측정하여 값을 확정하는 순간(\(|\psi\rangle\)가 \(J_z\)의 고유 상태가 됨), \(J_x\)와 \(J_y\)는 불확정해집니다.
- (예: 수소 원자) 전자의 에너지는 \(H\)와 \(J_z\)와 \(\vec{J}^2\) 모두와 교환하므로, 우리는 에너지(\(n\)), 총 각운동량(\(l\)), z축 각운동량(\(m_l\))이라는 3개의 양자수를 동시에 알 수 있습니다.
4. 연습문제
생성자의 기본 개념 (1~7)
(기본) 생성자의 에르미트성: 유니터리 조건 \(U(\lambda)^\dagger U(\lambda) = \mathbf{1}\)과 \(U(\lambda) = e^{-iG\lambda}\) 관계를 이용하여, \(G\)가 반드시 헤르미트 연산자(\(G=G^\dagger\))여야 함을 증명하십시오. (힌트: \(U(d\lambda) \approx \mathbf{1} - iG d\lambda\) 와 \(U(d\lambda)^\dagger \approx \mathbf{1} + iG^\dagger d\lambda\) 를 이용해 \(U^\dagger U = \mathbf{1}\) 을 전개해 보십시오.)
(기본) 생성자 찾기: \(z\)축에 대한 스핀 1/2 입자의 회전 연산자는 \(R_z(\theta) = \begin{pmatrix} e^{-i\theta/2} & 0 \\ 0 & e^{i\theta/2} \end{pmatrix}\) 입니다. 이 군의 생성자 \(G_z\)를 \(G_z = i \frac{dR_z(\theta)}{d\theta}\Big|_{\theta=0}\) 공식을 이용해 직접 계산하고, 이것이 \(\frac{1}{2}\sigma_z\) (즉, \(J_z/\hbar\))와 같음을 보이십시오.
(개념) ’생성자’의 의미: 왜 \(H\)나 \(P_x\) 같은 연산자를 “관측량”이라고 부르는 대신 “생성자”라고 부르는지, ’무한소 변환’의 관점에서 설명하십시오. (힌트: \(e^{-iG\lambda}\) 와 \((\mathbf{1} - iG\lambda/N)^N\)의 관계를 생각해 보십시오.)
(계산) 공간 이동 생성자: 1차원 파동함수에 대한 공간 이동 연산자 \(T(a)\)는 \(T(a)\psi(x) = \psi(x-a)\)로 정의됩니다. \(\psi(x-a)\)를 \(a=0\) 근방에서 테일러 전개하고, \(T(a) \approx \mathbf{1} - iG_x a\) 꼴과 비교하여, 공간 이동의 생성자 \(G_x\)가 운동량 연산자 \(P_x = -i\hbar\frac{d}{dx}\)와 어떤 관계인지 찾으십시오. (단위 \(\hbar=1\)로 가정)
(개념) 군(Group)과 생성자: 유니터리 변환 \(U(t) = e^{-iHt/\hbar}\)에서, \(H\)는 ’생성자’입니다. 그렇다면 \(U(t)\)는 무엇이라고 부르며, \(H\)와 \(U(t)\)의 관계는 무엇입C니까? (힌트: \(H\)는 엔진, \(U(t)\)는 자동차의 ’움직임’입니다.)
(응용) 변환 연산자 구성: \(y\)축 각운동량 연산자 \(J_y\)가 \(y\)축 회전의 생성자입니다. \(y\)축을 중심으로 각도 \(\phi\)만큼 회전시키는 유니터리 연산자 \(R_y(\phi)\)를 \(J_y\)를 이용해 지수함수 꼴로 표현하십시오.
(응용) 위상 변환: 상태 벡터에 전체적인 위상(global phase) \(e^{i\phi}\)를 곱하는 변환 \(U(\phi) = e^{i\phi}\mathbf{1}\)이 있습니다. 이 변환의 생성자는 무엇이며, 이 생성자는 어떤 물리량과 관련이 있습니까? (힌트: \(U(\phi) = e^{-iG\phi}\) 꼴로 바꿔보십시오. \(G\)가 항등 연산자와 관련 있습니다.)
대칭성과 보존 법칙 (8~14)
(기본) 보존 법칙 증명: 하이젠베르크 묘사에서 연산자 \(A\)의 시간 변화는 \(\frac{dA}{dt} = \frac{i}{\hbar}[H, A]\)로 주어집니다. 만약 어떤 연산자 \(G\)가 해밀토니안 \(H\)와 교환한다면(\([G, H]=0\)), \(G\)가 보존량(\(\frac{dG}{dt}=0\))임을 보이십시오.
(개념) 대칭과 교환자: 어떤 변환 \(U\)가 시스템의 ’대칭’이라는 것은 \(U\)가 해밀토니안 \(H\)와 교환(\([U, H] = 0\))함을 의미합니다. 이것이 왜 “물리 법칙이 그 변환에 대해 불변하다”는 뜻인지 설명하십시오. (힌트: \(U\) 변환 후 시간 진화(\(HU\))와 시간 진화 후 \(U\) 변환(\(UH\))이 같아야 합니다.)
(개념) 뇌터의 정리: “연속적인 대칭성은 보존량을 낳는다”는 뇌터의 정리를 3장의 용어(생성자, 교환자)를 사용해 다시 서술해 보십시오.
(적용) 자유 입자: 1차원 자유 입자의 해밀토니안 \(H = P_x^2 / (2m)\) 입니다.
- \(H\)가 운동량 연산자 \(P_x\)와 교환하는지(\([H, P_x]=?\)) 보이십시오.
- (a)의 결과로부터 어떤 물리량이 보존되는지, 그리고 이것이 어떤 대칭성을 의미하는지 설명하십시오.
(적용) 중심력 문제: 3차원 입자가 \(V(r) = V(\sqrt{x^2+y^2+z^2})\)와 같이 원점에서의 거리에만 의존하는 중심력 포텐셜 안에 있습니다. 이 시스템의 해밀토니안 \(H\)는 \(z\)축 회전(\(R_z(\theta)\))에 대해 대칭입니다.
- 이 대칭성으로부터 어떤 물리량이 보존된다고 예측할 수 있습니까?
- 그 물리량의 생성자는 무엇입니까?
(심화) 비-보존: 만약 어떤 연산자 \(Q\)가 해밀토니안 \(H\)와 교환하지 않는다면(\([Q, H] \neq 0\)), 그 물리량의 기대값 \(\langle Q \rangle(t) = \langle\psi(t)|Q|\psi(t)\rangle\)는 시간에 따라 어떻게 될지 예측하십시오.
(개념) 이산 대칭: 공간을 뒤집는 ‘패리티(Parity)’ 연산자 \(P\)는 \(P=P^\dagger\)이고 \(P^2=\mathbf{1}\)입니다.
- \(P\)는 유니터리 연산자입니까?
- \(P\)는 \(U(\lambda) = e^{-iG\lambda}\) 꼴로 표현되는 연속적인 군에 속합니까? 이러한 ’이산 대칭’도 생성자를 가집니까?
리 대수 (15~17)
(기본) 리 대수 계산: 파울리 행렬 \(\sigma_x = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \sigma_y = \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix}, \sigma_z = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\)를 이용하여, 교환자 \([\sigma_x, \sigma_y]\)를 직접 계산하고 \(2i\sigma_z\)가 됨을 보이십시오.
(개념) 리 대수란?: 각운동량 생성자들이 만족하는 \([J_x, J_y] = i\hbar J_z\)와 같은 관계식을 ’리 대수(Lie Algebra)’라고 부릅니다. 이 관계식이 왜 중요한지, ’군의 구조’와 관련지어 설명하십시오. (힌트: 이 관계식은 \(R_x(\theta_1)R_y(\theta_2)\)가 \(R_y(\theta_2)R_x(\theta_1)\)와 어떻게 다른지(비가환성)를 결정합니다.)
(적용) 순환 관계: 리 대수 관계식 \([J_x, J_y] = i\hbar J_z\)와 \([J_y, J_z] = i\hbar J_x\)가 주어졌다고 할 때, 교환자의 성질(예: \([A, B] = -[B, A]\))을 이용하여 \([J_z, J_x]\)를 구하십시오.
종합 응용 (18~20)
(종합) 조화 진동자: 1차원 양자 조화 진동자의 해밀토니안 \(H = \frac{P^2}{2m} + \frac{1}{2}m\omega^2 X^2\) 입니다.
- 이 \(H\)는 공간 이동(생성자 \(P\))에 대해 대칭입니까? (\([H, P]\) 계산)
- 이 \(H\)는 패리티(연산자 \(P_{op}\)가 \(X \to -X, P \to -P\)로 변환)에 대해 대칭입니까?
- (a), (b)의 결과로부터 어떤 물리량이 보존되고, 어떤 물리량은 보존되지 않는지 설명하십시오.
(증명) 유니터리 보존: \(U\)가 유니터리 변환일 때, 두 상태 \(|\psi\rangle, |\phi\rangle\) 간의 내적(overlap) \(\langle\phi|\psi\rangle\)가 변환 후에도 보존됨, 즉 \(\langle\phi'|\psi'\rangle = \langle\phi|\psi\rangle\)임을 증명하십시오. (여기서 \(|\psi'\rangle = U|\psi\rangle\))
(심화) 베이커-캠벨-하우스도르프(BCH): 생성자 \(G_1, G_2\)가 서로 교환하지 않는(\([G_1, G_2] \neq 0\)) 경우, \(e^{A}e^{B} \neq e^{A+B}\) 입니다. \(e^{-iG_1 \lambda} e^{-iG_2 \lambda}\)를 \(e^{-i(G_1+G_2)\lambda + \dots}\) 꼴로 전개할 때, 다음 항은 무엇에 비례할지 예측해 보십시오. (힌트: 이 책 10장의 교환자
[A, B]표기를 참고하십시오.)
5. 해설
\(U(\lambda) = e^{-iG\lambda}\) 이므로 \(U(\lambda)^\dagger = (e^{-iG\lambda})^\dagger = e^{iG^\dagger\lambda}\) 입니다. \(U^\dagger U = e^{iG^\dagger\lambda} e^{-iG\lambda} = \mathbf{1}\) 입니다. 이 식이 모든 \(\lambda\)에 대해 성립하려면, 지수 부분이 0이 되어야 하므로 \(G^\dagger = G\), 즉 \(G\)는 헤르미트여야 합니다. 무한소 증명: \(U(d\lambda) \approx \mathbf{1} - iG d\lambda\). \(U^\dagger \approx \mathbf{1} + iG^\dagger d\lambda\). \(U^\dagger U \approx (\mathbf{1} + iG^\dagger d\lambda)(\mathbf{1} - iG d\lambda) \approx \mathbf{1} - iG d\lambda + iG^\dagger d\lambda + O(d\lambda^2) = \mathbf{1} + i(G^\dagger - G)d\lambda\). 이 값이 \(\mathbf{1}\)이 되려면 괄호 안이 0, 즉 \(G=G^\dagger\)여야 합니다.
\(G_z = i \frac{d}{d\theta}\Big|_{\theta=0} \begin{pmatrix} e^{-i\theta/2} & 0 \\ 0 & e^{i\theta/2} \end{pmatrix} = i \begin{pmatrix} -i/2 \cdot e^{-i\theta/2} & 0 \\ 0 & i/2 \cdot e^{i\theta/2} \end{pmatrix}\Big|_{\theta=0}\) \(= i \begin{pmatrix} -i/2 & 0 \\ 0 & i/2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1/2 & 0 \\ 0 & -1/2 \end{pmatrix} = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} = \frac{1}{2}\sigma_z\).
‘생성자’는 유한한 변환(예: \(t\)초 만큼 이동)을 만들어내는 ’무한소 변환’(예: \(dt\)초 만큼 이동)의 레시피이기 때문입니다. \(U(t) = (\mathbf{1} - \frac{i}{\hbar} H \frac{t}{N})^N\) ( \(N \to \infty\)) 에서 보듯이, \(H\)는 아주 작은 한 걸음을 정의하고, 이 걸음을 무한히 반복(지수화)하면 \(t\)라는 유한한 변환이 ’생성’됩니다.
\(\psi(x-a) \approx \psi(x) - a \frac{d\psi(x)}{dx} = (\mathbf{1} - a \frac{d}{dx})\psi(x)\). \(T(a)\psi(x) = (\mathbf{1} - i G_x a)\psi(x)\) 와 비교하면, \(-i G_x = - \frac{d}{dx} \implies G_x = -i \frac{d}{dx}\). 이는 \(P_x = -i\hbar\frac{d}{dx}\) 이므로, \(\hbar=1\) 단위계에서 \(G_x = P_x\) 입니다. 즉, 운동량 연산자가 공간 이동의 생성자입니다.
\(H\)는 생성자(Generator)입니다. \(U(t)\)는 생성자 \(H\)에 의해 만들어지는 유니터리 군(Unitary Group) (정확히는 1-매개변수 군)의 원소입니다. \(H\)가 ’엔진’이라면 \(U(t)\)는 ’시간 \(t\) 만큼의 실제 주행’을 나타냅니다.
\(R_y(\phi) = e^{-i J_y \phi / \hbar}\).
\(U(\phi) = e^{i\phi}\mathbf{1} = e^{-i(-\mathbf{1})\phi}\). 따라서 생성자 \(G = -\mathbf{1}\) (또는 단위에 따라 \(-c\mathbf{1}\)) 입니다. 이는 항등 연산자에 비례하며, 특별한 물리량과 직접 연결되기보다는 전체 파동함수의 ‘전역 위상(global phase)’ 대칭에 해당합니다.
\(\frac{dG}{dt} = \frac{i}{\hbar}[H, G]\). 만약 \([G, H]=0\) 이라면, \([H, G] = -[G, H] = 0\) 입니다. 따라서 \(\frac{dG}{dt} = 0\) 이므로 \(G\)는 시간에 대해 상수, 즉 보존량입니다.
\(H\)는 시간 진화를 일으키는 생성자입니다. \([U, H] = 0\) (즉 \(UH = HU\))라는 것은, “(\(U\)로 변환하고) (시간 진화)”를 하나 ” (시간 진화하고) (\(U\)로 변환)“을 하나 그 결과가 같다는 뜻입니다. 이는 시간 진화 자체가 \(U\)라는 변환에 대해 불변, 즉 대칭적임을 의미합니다.
“어떤 시스템의 해밀토니안 \(H\)가 연속적인 유니터리 변환 \(U(\lambda)=e^{-iG\lambda}\)와 교환한다면(\([H, U]=0\)), 그 변환의 생성자 \(G\)는 보존량이다(\([H, G]=0\) 이고 \(dG/dt=0\)).”
- \(H\)는 \(P_x\)에만 의존하므로, 자기 자신과 당연히 교환합니다. \([H, P_x] = [P_x^2/(2m), P_x] = 0\).
- 운동량 \(P_x\)가 보존됩니다. 이는 해밀토니안이 공간 이동 대칭성(생성자 \(P_x\))을 가짐을 의미하며, 물리적으로는 “공간이 균일하여 위치 \(x\)에 상관없이 물리 법칙이 동일함”을 뜻합니다.
- 해밀토니안이 \(z\)축 회전에 대해 대칭이므로, \(z\)축 회전의 생성자인 \(z\)축 각운동량(\(J_z\) 또는 \(L_z\))이 보존됩니다.
- 생성자는 \(J_z\) (또는 \(L_z\))입니다.
\(\frac{d\langle Q \rangle}{dt} = \frac{d}{dt}\langle\psi(t)|Q|\psi(t)\rangle = \dots = \frac{i}{\hbar}\langle\psi(t)|[H, Q]|\psi(t)\rangle = \frac{i}{\hbar}\langle[H, Q]\rangle\). \([H, Q] \neq 0\) 이므로, 일반적으로 기대값 \(\langle Q \rangle(t)\)는 0이 아닌 시간 변화율을 가지며, 즉 보존되지 않고 시간에 따라 변합니다.
- \(P=P^\dagger\)이고 \(PP^\dagger = P^2 = \mathbf{1}\) 이므로 유니터리입니다.
- 아닙니다. \(P\)는 \(e^{-iG\lambda}\) 꼴로 표현되지 않습니다 (지수함수로 표현하면 \(G\)가 에르미트가 아님). 이는 \(\lambda=0\) 근방의 ‘무한소’ 변환이 없는 이산 대칭(Discrete Symmetry)입니다. 따라서 이산 대칭은 (일반적으로) 헤르미트 생성자를 갖지 않습니다.
\([\sigma_x, \sigma_y] = \sigma_x \sigma_y - \sigma_y \sigma_x\) \(= \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\) \(= \begin{pmatrix} i & 0 \\ 0 & -i \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -i & 0 \\ 0 & i \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2i & 0 \\ 0 & -2i \end{pmatrix} = 2i \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} = 2i\sigma_z\).
리 대수는 생성자들 사이의 교환 관계를 정의합니다. 이 관계는 유한한 변환(군 원소)들의 곱셈 순서(예: \(R_x R_y\) vs \(R_y R_x\))가 어떻게 달라지는지를 무한소 레벨에서 결정합니다. 즉, 생성자들의 대수(algebra)가 군(group)의 국소적인 기하학적 구조를 결정합니다.
교환자의 성질 \([A, B] = -[B, A]\)를 이용합니다. \([J_z, J_x] = -[J_x, J_z]\). 순환 관계(\(x \to y \to z \to x\))를 이용하면, \([J_y, J_z] = i\hbar J_x\) 에서 인덱스를 순환시켜 \([J_z, J_x] = i\hbar J_y\) 임을 알 수 있습니다.
- \([H, P] = [\frac{P^2}{2m} + \frac{1}{2}m\omega^2 X^2, P] = [\frac{P^2}{2m}, P] + \frac{1}{2}m\omega^2 [X^2, P]\). \([P^2, P]=0\) 이고, \([X^2, P] = X[X, P] + [X, P]X = X(i\hbar) + (i\hbar)X = 2i\hbar X \neq 0\). 따라서 \([H, P] \neq 0\) 이므로 공간 이동에 대해 대칭이 아닙니다.
- 패리티 변환 \(P_{op}\) 하에서 \(X \to -X, P \to -P\) 입니다. \(H \to \frac{(-P)^2}{2m} + \frac{1}{2}m\omega^2 (-X)^2 = \frac{P^2}{2m} + \frac{1}{2}m\omega^2 X^2 = H\). 해밀토니안이 불변이므로, 패리티에 대해 대칭입니다.
- (a)에서 운동량 \(P\)는 보존되지 않습니다 (조화 진동자에서 입자는 왕복 운동하므로 운동량이 계속 변함). (b)에서 패리티는 보존됩니다 (파동함수가 우함수 또는 기함수 성질을 유지함).
\(|\psi'\rangle = U|\psi\rangle, |\phi'\rangle = U|\phi\rangle\). \(\langle\phi'|\psi'\rangle = (U|\phi\rangle)^\dagger (U|\psi\rangle) = \langle\phi| U^\dagger U |\psi\rangle\). \(U\)는 유니터리이므로 \(U^\dagger U = \mathbf{1}\) 입니다. 따라서 \(\langle\phi'|\psi'\rangle = \langle\phi| \mathbf{1} |\psi\rangle = \langle\phi|\psi\rangle\).
(BCH 공식의 2차 항) \(e^A e^B = e^{A+B + \frac{1}{2}[A, B] + \dots}\) 입니다. \(A = -iG_1 \lambda\), \(B = -iG_2 \lambda\) 를 대입하면, \(e^{-iG_1 \lambda} e^{-iG_2 \lambda} = \exp\left( -i(G_1+G_2)\lambda + \frac{1}{2}[-iG_1 \lambda, -iG_2 \lambda] + \dots \right)\) \(= \exp\left( -i(G_1+G_2)\lambda - \frac{\lambda^2}{2}[G_1, G_2] + \dots \right)\). 따라서 다음 항은 두 생성자의 교환자(commutator) \([G_1, G_2]\)에 비례합니다.