7장. 일관성 역사와 양자적 확률: ’그리고’의 확률을 묻는 법

양자역학의 표준 공리(본 규칙)는 “특정 시각 \(t\)에 측정을 수행할 때, 결과 \(a\)를 얻을 확률은 얼마인가?”에 대해서는 완벽한 답을 줍니다. 하지만 “입자가 \(t_1\)에 A 지점을 통과하고, \(t_2\)에 B 지점을 통과할 확률은 얼마인가?”와 같이, 시간에 따른 일련의 사건, 즉 ‘역사(history)’에 대한 확률을 물으면 문제는 복잡해집니다.

이중 슬릿 실험이 대표적입니다. “슬릿 1을 통과하고 스크린 \(x\)에 도달할” 확률과 “슬릿 2를 통과하고 스크린 \(x\)에 도달할” 확률을 단순히 더하면, 간섭 효과 때문에 실제 확률과 달라집니다. 일관성 역사(Consistent Histories) 형식론은 이 문제를 정면으로 다룹니다. 이 이론은 어떤 조건 하에서만 ’역사’에 대한 고전적인 확률 해석이 가능한지, 그리고 그 확률은 어떻게 계산되는지를 정의하는 수학적 틀입니다.

1. 기본 개념 (Fundamental Concepts)

역사 (History)와 클래스 연산자 (\(C_\alpha\)): 역사는 시간에 따라 발생하는 일련의 물리적 명제(사건)들로 정의됩니다. 각 명제는 특정 시각 \(t_k\)의 특정 부분공간에 대한 투영 연산자(프로젝터) \(P_k\)로 표현됩니다.
- 역사 \(\alpha\): \(t_1\)에 \(P_1\), \(t_2\)에 \(P_2\), …, \(t_n\)에 \(P_n\)이 일어나는 사건.
- 클래스 연산자 \(C_\alpha\): 이 역사를 나타내는 단일 연산자로, 각 프로젝터의 시간 순서 곱으로 정의됩니다. (하이젠베르크 묘사 기준) \(C_\alpha = P_n(t_n) P_{n-1}(t_{n-1}) \cdots P_1(t_1)\)
확률의 문제 (The Problem of Interference): 고전적으로는 “A 또는 B가 일어날 확률”은 \(P(A)+P(B)\)입니다. 하지만 양자역학에서는 두 역사가 중첩되고 간섭할 수 있습니다. \(P(\alpha \text{ 또는 } \beta) \neq P(\alpha) + P(\beta)\)일 수 있으며, 이 경우 \(P(\alpha)\) 자체를 정의하는 것이 무의미해집니다.
디코히어런스 함수 (Decoherence Function, \(D(\alpha, \beta)\)): 두 개의 서로 다른 역사 \(\alpha\)와 \(\beta\) 사이의 간섭(interference)의 정도를 측정하는 핵심 도구입니다. 초기 밀도 행렬 \(\rho\)에 대해 다음과 같이 정의됩니다. \(D(\alpha, \beta) = \mathrm{Tr}(C_\alpha \rho C_\beta^\dagger)\)
- 대각 성분 (\(D(\alpha, \alpha)\)): 역사 \(\alpha\)가 일어날 ‘후보’ 확률입니다. \(p(\alpha) = D(\alpha, \alpha) = \mathrm{Tr}(C_\alpha \rho C_\alpha^\dagger) \ge 0\).
- 비대각 성분 (\(D(\alpha, \beta), \alpha \neq \beta\)): 두 역사 \(\alpha\)와 \(\beta\) 사이의 간섭항입니다.
일관성 조건 (Consistency Condition): 어떤 역사들의 집합 \(\{ \alpha \}\)에 대해 고전적인 확률 규칙(덧셈 법칙)이 성립하려면, 서로 다른 모든 역사 쌍 사이의 간섭이 0이 되어야 한다는 조건입니다.
- 약한 조건 (Weak Consistency): \(\mathrm{Re}[D(\alpha, \beta)] = 0 \quad (\text{for } \alpha \neq \beta)\)
- 중간 조건 (Medium Consistency): \(D(\alpha, \beta) = 0 \quad (\text{for } \alpha \neq \beta)\) 이 조건이 만족될 때, 이 역사 집합을 ‘일관성 집합(consistent set)’이라 부릅니다.
상세 설명: 결어긋남(Decoherence)의 역할

5장에서 배운 결어긋남(Decoherence)이 바로 이 ’일관성 조건’을 물리적으로 달성하는 메커니즘입니다.

시스템이 환경과 상호작용하면, 서로 다른 역사(예: 슬릿 1 통과, 슬릿 2 통과)는 환경에 서로 다른 ’발자국’을 남깁니다. 이 환경의 발자국 상태가 서로 직교하게 되면(\(\langle E_\alpha | E_\beta \rangle \approx 0\)), 전체 시스템의 디코히어런스 함수 \(D(\alpha, \beta)\)가 0이 되어 일관성 조건이 충족됩니다.

즉, 환경이 역사를 감시하고 기록함으로써 역사 간의 간섭을 지우고, 비로소 우리가 “A가 일어났다” 또는 “B가 일어났다”고 말할 수 있는 고전적 세계가 나타납니다.
확률 할당 (Probability Assignment): 어떤 역사 집합 \(\{ \alpha \}\)가 일관성 조건을 만족하는 것이 확인된 경우에만, 우리는 각 역사 \(\alpha\)에 대해 고전적 확률을 다음과 같이 부여할 수 있습니다. \(p(\alpha) = D(\alpha, \alpha) = \mathrm{Tr}(C_\alpha \rho C_\alpha^\dagger)\)

2. 기호 및 핵심 관계식

역사 (History): \(\alpha = (P_{\alpha_1}(t_1), P_{\alpha_2}(t_2), \dots, P_{\alpha_n}(t_n))\)
- 각 시각 \(t_k\)의 프로젝터 집합은 완전해야 합니다: \(\sum_j P_{k,j} = \mathbf{1}\).
클래스 연산자 (Class Operator): \(C_\alpha = P_{\alpha_n}(t_n) \cdots P_{\alpha_1}(t_1)\)
- (여기서 \(P_k(t_k)\)는 하이젠베르크 묘사의 연산자, 또는 \(U^\dagger(t_k, 0) P_k U(t_k, 0)\)입니다.)
디코히어런스 함수 (Decoherence Function): \(D(\alpha, \beta) = \mathrm{Tr}(C_\alpha \rho_0 C_\beta^\dagger)\)
- \(\rho_0\)는 \(t=0\)에서의 초기 상태입니다.
일관성 조건 (Consistency Condition): 집합 \(\{ \alpha \}\)가 일관성을 갖기 위한 (중간) 조건: \(\mathrm{Tr}(C_\alpha \rho_0 C_\beta^\dagger) = 0 \quad (\text{for all } \alpha \neq \beta)\)
확률 (Probability): 일관성이 만족될 경우, 역사 \(\alpha\)의 확률은 다음과 같습니다. \(p(\alpha) = \mathrm{Tr}(C_\alpha \rho_0 C_\alpha^\dagger)\)

3. 손쉬운 예제 (Examples with Deeper Insight)

예제 1: 이중 슬릿 (일관성 없는 역사)
- 상황: \(t_1\)에 입자가 슬릿을 통과하고, \(t_2\)에 스크린 \(x\)에 도달합니다.
- 역사:
  - \(\alpha\): “슬릿 1 통과(\(P_1\)), 스크린 \(x\) 도착(\(P_x\))”
  - \(\beta\): “슬릿 2 통과(\(P_2\)), 스크린 \(x\) 도착(\(P_x\))”
- 클래스 연산자: \(C_\alpha = P_x(t_2) P_1(t_1)\), \(C_\beta = P_x(t_2) P_2(t_1)\)
- 일관성 검사: \(D(\alpha, \beta) = \mathrm{Tr}(C_\alpha \rho_0 C_\beta^\dagger) = \mathrm{Tr}(P_x P_1 \rho_0 P_2 P_x)\) (여기서 \(\rho_0 = |\psi_0\rangle\langle\psi_0|\)는 두 슬릿을 동시에 통과하는 중첩 상태)
- 결과: 이 값은 0이 아니며, 이것이 바로 스크린에 나타나는 간섭항입니다.
- 해석: \(\{ \alpha, \beta \}\) 집합은 일관성이 없습니다. 따라서 우리는 “입자가 슬릿 1을 통과하고 \(x\)에 도달할 확률”과 “슬릿 2를 통과하고 \(x\)에 도달할 확률”을 따로 말할 수 없습니다.
예제 2: 이중 슬릿 + 경로 검출기 (일관성 있는 역사)
- 상황: 예제 1에 더해, 각 슬릿에 어떤 입자가 통과했는지 100% 감지하는 환경(검출기) \(E\)가 있습니다.
- 역사:
  - \(\alpha\): “슬릿 1 통과(\(P_1\)) 그리고 검출기 ‘1’ 울림(\(P_1^E\))”
  - \(\beta\): “슬릿 2 통과(\(P_2\)) 그리고 검출기 ‘2’ 울림(\(P_2^E\))”
- 클래스 연산자: \(C_\alpha = (P_x P_1 \otimes P_1^E)\), \(C_\beta = (P_x P_2 \otimes P_2^E)\) (간략한 표기 사용. 초기 상태 \(\rho_0 \otimes |E_0\rangle\langle E_0|\))
- 일관성 검사: \(D(\alpha, \beta) = \mathrm{Tr}((C_\alpha) (\rho_0 \otimes |E_0\rangle\langle E_0|) (C_\beta^\dagger))\)
- 결과: 검출기가 완벽하다면 환경 상태가 직교(\(\langle E_1 | E_2 \rangle = 0\))하게 됩니다. 이 직교성 때문에 \(D(\alpha, \beta)\)는 0이 됩니다.
- 해석: \(\{ \alpha, \beta \}\) 집합은 (환경을 포함할 때) 일관성이 있습니다. 이제 우리는 \(p(\alpha)\)와 \(p(\beta)\)를 고전적 확률로 당당하게 이야기할 수 있습니다. 이것이 5장에서 배운 결어긋남입니다.
예제 3: 측정 기반의 모순 (서로 다른 기저)
- 상황: \(t_1\)에 스핀 \(z\)를 측정하고, \(t_2\)에 스핀 \(x\)를 측정합니다.
- 역사 집합 1 (Z-기저):
  - \(\alpha_1\): “\(t_1\)에 \(z+\)”, \(\alpha_2\): “\(t_1\)에 \(z-\)”
  - \(C_{\alpha_1} = P_{z+}\), \(C_{\alpha_2} = P_{z-}\).
  - \(D(\alpha_1, \alpha_2) = \mathrm{Tr}(P_{z+} \rho_0 P_{z-}) = 0\). (일관성 있음)
- 역사 집합 2 (X-기저):
  - \(\beta_1\): “\(t_1\)에 \(x+\)”, \(\beta_2\): “\(t_1\)에 \(x-\)”
  - \(C_{\beta_1} = P_{x+}\), \(C_{\beta_2} = P_{x-}\).
  - \(D(\beta_1, \beta_2) = \mathrm{Tr}(P_{x+} \rho_0 P_{x-}) = 0\). (일관성 있음)
- 문제: \(\rho_0 = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\) (\(|x+\rangle\) 상태)라고 합시다. 집합 1과 집합 2를 합치려고 하면 어떻게 될까요? \(D(\alpha_1, \beta_1) = \mathrm{Tr}(P_{z+} \rho_0 P_{x+}) = \mathrm{Tr}(\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \rho_0 \rho_0) = \mathrm{Tr}(P_{z+} \rho_0) \neq 0\).
- 해석: \(z\)축 기저의 역사들과 \(x\)축 기저의 역사들은 동시에 일관성을 가질 수 없습니다. 우리는 “입자가 \(z+\)였는가 \(z-\)였는가?”라고 묻거나, “입자가 \(x+\)였는가 \(x-\)였는가?”라고 물을 순 있지만, 이 두 질문을 동시에 던질 수는 없습니다.

4. 연습문제

디코히어런스 함수의 에르미트성: \(D(\alpha, \beta) = \overline{D(\beta, \alpha)}\) 임을 증명하십시오. (이는 \(D(\alpha, \alpha)\)가 항상 실수임을 보장합니다.)
클래스 연산자 구성: \(t=0\)에 \(|+\rangle\) 상태로 시작한 큐빗이 \(t_1\)에 \(z\)축 측정을 받고, \(t_2\)에 \(x\)축 측정을 받는다고 가정합니다. ” \(t_1\)에 \(z+\)가 나오고 \(t_2\)에 \(x-\)가 나오는” 역사 \(\alpha\)의 클래스 연산자 \(C_\alpha\)를 쓰십시오.
일관성 계산: 큐빗이 초기 상태 \(\rho_0 = \frac{1}{2}(\mathbf{1})\) (최대 혼합 상태)에 있다고 가정합니다. \(t_1\)에서의 두 역사 \(\alpha = \{P_{z+}\}\)와 \(\beta = \{P_{z-}\}\)에 대해 \(D(\alpha, \beta)\)를 계산하여 일관성을 판별하십시오.
간섭항 계산: 큐빗이 초기 상태 \(\rho_0 = |+\rangle\langle +|\) (\(x+\) 상태)에 있다고 가정합니다. \(t_1\)에서의 두 역사 \(\alpha = \{P_{z+}\}\)와 \(\beta = \{P_{z-}\}\)에 대해 \(D(\alpha, \beta)\)를 계산하여 일관성을 판별하십시오.
예제 3의 재현: \(\rho_0 = |+\rangle\langle +| = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\) 일 때, \(\alpha = P_{z+} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\) 와 \(\gamma = P_{x+} = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\) 역사 사이의 \(D(\alpha, \gamma)\) 값을 계산하여 \(\mathrm{Re}[D(\alpha, \gamma)] \neq 0\) 임을 보이십시오.
일관성과 결어긋남: 5장에서 배운 위상 감쇠 채널(dephasing channel)이 어떻게 일관성 없는 역사(예: 예제 1)를 일관성 있는 역사(예: 예제 2)로 만드는지 정성적으로 설명하십시오.

5. 해설

\(\overline{D(\beta, \alpha)} = \overline{\mathrm{Tr}(C_\beta \rho C_\alpha^\dagger)} = \mathrm{Tr}((C_\beta \rho C_\alpha^\dagger)^\dagger)\) (복소켤레 트레이스는 전체 에르미트 수반의 트레이스와 같음). \(= \mathrm{Tr}((C_\alpha^\dagger)^\dagger \rho^\dagger C_\beta^\dagger) = \mathrm{Tr}(C_\alpha \rho C_\beta^\dagger) = D(\alpha, \beta)\). (밀도 행렬은 \(\rho = \rho^\dagger\)이므로)
(하이젠베르크 묘사 사용) \(C_\alpha = P_{x-}(t_2) P_{z+}(t_1)\).
\(D(\alpha, \beta) = \mathrm{Tr}(P_{z+} \rho_0 P_{z-}^\dagger) = \mathrm{Tr}(P_{z+} (\frac{1}{2}\mathbf{1}) P_{z-}) = \frac{1}{2}\mathrm{Tr}(P_{z+} P_{z-}) = 0\). (서로 직교하는 프로젝터이므로). 따라서 일관성이 있습니다.
\(\rho_0 = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\). \(D(\alpha, \beta) = \mathrm{Tr}(P_{z+} \rho_0 P_{z-}) = \mathrm{Tr}(\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix})\) \(= \mathrm{Tr}(\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}) = \frac{1}{2}\mathrm{Tr}(\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}) = 0\). (수정) \(P_{z-} = |1\rangle\langle 1|\). \(D(\alpha, \beta) = \langle 1| P_{z+} \rho_0 |1\rangle = \langle 1| |0\rangle\langle 0| \rho_0 |1\rangle = 0\). (다시 계산) \(D(\alpha, \beta) = \mathrm{Tr}(P_{z+} \rho_0 P_{z-}) = \mathrm{Tr}(|0\rangle\langle 0| (|+\rangle\langle +|) |1\rangle\langle 1|) = \langle 1 | 0 \rangle \langle 0 | + \rangle \langle + | 1 \rangle = 0\). (잠깐, \(\rho_0\)를 행렬로) \(D(\alpha, \beta) = \mathrm{Tr}(\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}) = \frac{1}{2}\mathrm{Tr}(\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}) = \frac{1}{2}\mathrm{Tr}(\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}) = 0\). (결론) \(\alpha\)와 \(\beta\)는 여전히 일관성이 있습니다. (이것은 \(t_1\)이라는 한 시점의 측정 기저이기 때문입니다.)
\(D(\alpha, \gamma) = \mathrm{Tr}(C_\alpha \rho_0 C_\gamma^\dagger) = \mathrm{Tr}(P_{z+} \rho_0 P_{x+})\) (두 프로젝터 모두 에르미트이므로 \(C^\dagger=C\)). \(P_{z+} \rho_0 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\). \((P_{z+} \rho_0) P_{x+} = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \frac{1}{4}\begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\). \(D(\alpha, \gamma) = \mathrm{Tr}\left( \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \right) = \frac{1}{2}\). \(\mathrm{Re}[D(\alpha, \gamma)] = 1/2 \neq 0\). 따라서 Z-기저 역사와 X-기저 역사는 동시에 일관성을 가질 수 없습니다.
위상 감쇠 채널(5장)은 시스템의 밀도 행렬에서 비대각 항(\(\rho_{01}, \rho_{10}\))을 0으로 만듭니다. 이 비대각 항이 바로 이중 슬릿 예제(예제 1)의 간섭항 \(D(\alpha, \beta)\)의 근원입니다. 따라서 위상 감쇠 채널(즉, 환경의 감시)이 작동하면 \(D(\alpha, \beta) \to 0\)이 되어 일관성 조건이 만족됩니다.